Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Бифуркация Андронова-Хопфа 13
где τ = εt и z =
√
εξ. Формула, которая связывает решения y(t, ε) уравне-
ния (2.2) и его нормальной формы (2.5), имеет вид
x(t, ε) =
√
ε
£
ξ(τ)e
iω
0
t
+ ξ(τ)e
−iω
0
t
¤
+ εx
2
(t, τ ) + ε
3/2
x
3
(t, τ ) + . . . (2.7)
Отметим, что зависимость от t в (2.7) 2π/ω
0
-периодичная. Формула (2.7)
дает одновременно алгоритм нахождения коэффициентов λ
1
(называется
„надкритичностью“) и d (называется ляпуновской величиной). Для опреде-
ления λ
1
и d подставим в (2.2) формулу (2.7) и будем собирать в получив-
шемся тождестве коэффициенты при одинаковых степенях ε. На первом
шаге, приравнивая коэффициенты при ε
1/2
, в силу определения величин
a
0
и ω
0
получим верное тождество. На втором шаге придем к дифферен-
циальному уравнению относительно x
2
∂x
2
∂t
+ x
2
= a
0
x
2
(t − T
0
, τ ) + f
2
h
ξ(τ)
2
e
2iω
0
(t−T
0
)
+ |ξ(τ)|
2
+
ξ(τ)
2
e
−2iω
0
(t−T
0
)
i
.
Из условия периодичности функции x
2
(t, τ ) находим, что
x
2
= x
20
+ x
21
e
2iω
0
t
+
x
21
e
−2iω
0
t
,
где
x
20
=
f
2
1 − a
0
|ξ(τ)|
2
,
x
21
=
f
2
exp(−2iω
0
T
0
)
1 + 2iω
0
− a
0
exp(−2iω
0
T
0
)
ξ
2
(τ).
Наконец, собирая коэффициенты при ε
3/2
, получим выражение
∂x
3
∂t
+ x
3
− a
0
x
3
(t − T
0
, τ ) =
= −
µ
(1 + a
0
T
0
e
−iω
0
T
0
)
dξ
dτ
e
iω
0
t
+ к.с.
+
+ (a
0
T
1
+ a
1
− 1)
¡
ξ(τ)e
iω
0
(t−T
0
)
+
ξ(τ)e
−iω
0
(t−T
0
)
¢
+
+ 2f
2
x
2
(t − T
0
, τ )
¡
ξ(τ)e
iω
0
(t−T
0
)
+
ξ(τ)e
−iω
0
(t−T
0
)
¢
+
+ f
3
¡
ξ(τ)e
iω
0
(t−T
0
)
+
ξ(τ)e
−iω
0
(t−T
0
)
¢
3
.
Необходимое и достаточное условие существования 2π/ω
0
-перио-
дических решений этого уравнения состоит в том, что сумма всех коэф-
фициентов при exp(iω
0
t) и при exp(−iω
0
t) в правой части должна быть

Страницы