Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

12 Часть I. Локальный анализ
и переобозначим опять t
1
через t и x((1 + εT
1
)t
1
) через x(t). В результате
получим уравнение
1
1 + εT
1
dx
dt
+x = (a
0
(T
0
)+εa
1
)x(t−T
0
)+f
2
x
2
(t−T
0
)+f
3
x
3
(t−T
0
)+. . . (2.2)
Рассмотрим отдельно случаи a
0
< 0 и a
0
> 0.
2.2. Пусть сначала
a
0
= a
0
(T
0
) < 0.
В этом случае характеристический квазиполином
λ + 1 = a
0
e
−λT
0
(2.3)
имеет пару чисто мнимых корней λ
1,2
= ±iω
0
, а все остальные его корни
имеют отрицательные вещественные части. Линеаризованное уравнение
˙x + x = a
0
x(t − T
0
) (2.4)
имеет периодическое решение y = exp(iω
0
t).
Известно, что в фазовом пространстве C
[−T
0
,0]
имеется локальное экс-
поненциально устойчивое интегральное многообразие (см. [30, 25, 2, 1]) C
2
.
К этому многообразию при t → ∞ стремятся все решения (2.2) с доста-
точно малым (и не зависящим от ε) начальным условием. Таким образом,
необходимо лишь исследовать поведение решений (2.2) только на двумер-
ном многообразии C
2
. На нем уравнение (2.2) можно записать в виде си-
стемы двух ОДУ, которую с помощью некоторых преобразований можно
представить в наиболее простой форме. Эта форма называется нормальной
(см., например, [2, 1]). В рассматриваемом случае, когда в линеаризованном
уравнении (2.4) реализуется критический случай пары чисто мнимых кор-
ней характеристического квазимногочлена, соответствующая нормальная
форма имеет вид одного комплексного уравнения
dz
dt
= ελ
1
z + d|z|
2
z + O(ε
2
+ |z|
5
+ ε|z|
3
). (2.5)
В случае, когда Re λ
1
6= 0 и Re d 6= 0 динамические свойства решений
(2.5), а значит, и уравнения (2.2), определяются укороченным нормализо-
ванным уравнением
dξ
dτ
= λ
1
ξ + d|ξ|
2
ξ, (2.6)

Страницы