Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

14 Часть I. Локальный анализ
равна нулю. Подставляя выражение для x
2
, раскрывая скобки и исполь-
зуя (2.3), получим, что для существования 2πω
0
-периодических решений
должно выполняться равенство
(1 + T
0
+ iT
0
ω
0
)
dξ
dτ
=
a
1
+ iω
0
(a
1
+ a
0
T
1
)
a
0
ξ +
+
·
2f
2
2
µ
1
1 − a
0
+
1
2iω
0
− a
0
exp(−2iω
0
T
0
) + 1
+ 3f
3
¸
e
−iω
0
T
0
|ξ|
2
ξ.
(2.8)
Аналогичное уравнение также будет и для
ξ. Как легко заметить, получен-
ное равенство в точности соответствует (2.6). Используя выражение (2.3),
надкритичность λ
1
и ляпуновскую величину d можно записать следующим
образом:
λ
1
= (1 + T
0
+ iT
0
ω
0
)
−1
a
1
+ iω
0
(a
1
+ a
0
T
1
)
a
0
,
d =
·
2f
2
2
µ
1
1 − a
0
+
1
2iω
0
− a
0
exp(−2iω
0
T
0
) + 1
+ 3f
3
¸
1 + iω
0
a
0
.
Нормализованное уравнение (2.8) является комплексным. Если ком-
плексную функцию ξ представить в виде ξ(τ) = ρ(τ) exp iϕ(τ), то для
амплитуды ρ и для фазы ϕ получим уравнения
dρ
dτ
= (Re λ
1
)ρ + (Re d)ρ
3
, (2.9)
dϕ
dτ
= (Im λ
1
)ρ + (Im d)ρ
2
. (2.10)
Рассмотрим уравнение (2.9). Это скалярное, автономное уравнение. Корни
его правой части – это корни уравнения
(Re λ
1
)ρ + (Re d)ρ
3
= 0.
Это уравнение всегда имеет нулевой корень, и, если Re λ
1
и Re d разных
знаков, пару корней ±ρ
∗
, где
ρ
∗
=
r
−
Re λ
1
Re d
.
Как известно, решения скалярных дифференциальных уравнений либо
стремятся к постоянной величине (корню правой части), либо неограни-
ченно возрастают. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Страницы