Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

16 Часть I. Локальный анализ
Рис. 2. Фазовые портреты системы (2.2) на многообразии C
2
при
a
0
= a
0
(T ) < 0 в случаях: а) Re λ
1
< 0, Re d < 0; б) Re λ
1
< 0, Re d > 0;
в) Re λ
1
> 0, Re d > 0; г) Re λ
1
> 0, Re d < 0.
При таких значениях параметра линеаризованное уравнение
˙x + x = x(t − T
0
)
имеет постоянное ненулевое решение. Характеристическое уравнение
λ + 1 = e
−λT
0
имеет нулевой корень, а все остальные его корни имеют отрицательные
действительные части. В этом случае в фазовом пространстве C
[−T
0
,0]
су-
ществует экспоненциально устойчивое интегральное многообразие C
1
. Все
решения (2.2) с достаточно малым (но не зависящим от ε) начальным усло-
вием стремятся при t → ∞ к этому многообразию. Следовательно, нужно
исследовать поведение решений (2.2) на гладком одномерном многообразии
C
1
. Так же как и в предыдущем случае, на этом многообразии исходную
систему можно представить в наиболее простой — нормальной — форме. В
нашем случае, когда характеристический многочлен имеет один корень на
мнимой оси, нормальная форма имеет вид скалярного уравнения
˙z = ελ
1
z + dz
2
+ O(ε
3
+ εz
2
+ z
3
). (2.11)
В случае общности положения, когда λ
1
d 6= 0, поведение решений (2.11),
а значит, и (2.2), определяются укороченным – нормализованным – урав-
нением
dz
dτ
= λ
1
z + dz
2
. (2.12)
Здесь z = εξ, τ = εt. Алгоритм нахождения коэффициентов λ
1
и d полу-
чается из формулы, связывающей решения системы (2.2) и ее нормальной

Страницы