Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Бифуркация Андронова-Хопфа 17
формы (2.11):
x(t, ε) = εz(τ) + ε
2
x
2
(τ) + . . . (2.13)
Действуя так же, как и выше, т.е. подставляя (2.13) в (2.2) и собирая
в получившемся равенстве коэффициенты при одинаковых степенях ε, по-
лучим, что для z(τ) должно выполняться соотношение
dz
dτ
=
a
1
1 + T
0
z +
f
2
1 + T
0
z
2
. (2.14)
Динамика этой системы полностью описывается следующей теоремой.
Теорема 2.6 Пусть a
1
< 0, f
2
> 0 (f
2
< 0), тогда решения (2.14) с
начальными условиями меньше (больше) −a
1
f
−1
2
стремятся к нулю при
τ → ∞, а остальные неограниченно возрастают по модулю.
Пусть a
1
> 0, f
2
> 0 (f
2
< 0) тогда решения (2.14) с положитель-
ными (отрицательными) начальными условиями стремятся по модулю
к бесконечности, а все остальные сходятся к z
∗
= −a
1
f
−1
2
при τ → ∞.
Исходя из этой теоремы, можно описать динамику уравнения (2.2) в
окрестности нулевого решения.
Теорема 2.7 Пусть a
1
< 0, тогда при достаточно малых значениях ε
нулевое решение (2.2) асимптотически устойчиво.
Теорема 2.8 Пусть a
1
> 0, тогда нулевое решение (2.2) неустойчиво, и
в его малой (но не зависящей от ε) окрестности существует единствен-
ное асимптотически устойчивое решение
x
∗
= −ε
a
1
f
2
(1 + o(1)).
Упражнение 2.1. Рассмотреть более общее, по сравнению с (2.1) урав-
нение
˙x + x = (a
0
+ ε)x(t −T
0
) + f
21
x
2
(t −T
0
) + f
31
x
3
(t −T
0
) + f
22
x
2
(t) + f
32
x
3
(t).
Упражнение 2.2. Для уравнения Хатчинсона
˙x = ax(t − T )[1 + x(t)],
где aT = π/2+ε, изучить вопрос о поведении решений этого уравнения при
0 < ε ¿ 1 в достаточно малой окрестности нулевого состояния равновесия.

Страницы