Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

18 Часть I. Локальный анализ
§3. Локальная динамика уравнения с большим
запаздыванием
3.1. Основное предположение этого параграфа состоит в том, что в урав-
нении
dx
dt
+ x = ax(t − T ) + F (x(t − T )) (3.1)
параметр T , характеризующий запаздывание, является достаточно боль-
шим, т.е.
T À 1.
При этом условии рассматривается вопрос о поведении решений уравнения
(3.1) в малой (но не зависящей от T ) окрестности нулевого состояния рав-
новесия. Удобно через ε обозначить малый параметр ε = T
−1
. Тем самым
0 < ε ¿ 1.
В уравнении (3.1) произведем замену времени t → T t. В результате прихо-
дим к уравнению
ε
dx
dt
+ x = ax(t − 1) + F (x(t − 1)). (3.2)
В окрестности нуля нелинейная функция F (x) представима в виде
F (x) = f
2
x
2
+ f
3
x
3
+ . . .
Так же, как и в предыдущих параграфах, о локальной динамике урав-
нения (3.2) можно судить по динамике линеаризованного уравнения
ε
dx
dt
+ x = ax(t − 1).
Это уравнение является сингулярно возмущенным, получающееся при
ε = 0 вырожденное уравнение
x = ax(t − 1)
не является дифференциальным. Подставим сюда x = exp λt. Для λ полу-
чится характеристическое уравнение
ελ + 1 = ae
−λ
. (3.3)
Расположение корней характеристического квазиполинома (3.3) опре-
деляет поведение решений (3.2). Справедливы следующие утверждения.

Страницы