Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

20 Часть I. Локальный анализ
Модуль правой части равен единице, следовательно, модуль левой части
тоже должен быть равен единице. Получаем
ω
2
−
(ε) + 1 = a
2
.
Наименьшее |a|, при котором это равенство может быть выполнено, это
|a| = 1. При этом ω
−
= 0.
Наконец, если 0 < γ < 1, то равенство коэффициентов при ε
0
будет
иметь вид
1 = a exp(−iω
−
ε
−γ
− iω
0
(ε)).
Это уравнение будет иметь решение, только если |a| = 1
Итак, мы получили значения параметров
a
0
= −1, a
0
= 1.
Пусть сначала a = a
0
= 1. Как было показано выше, возможны две ситу-
ации: ω
−
= 0 и ω
−
6= 0. В первом случае параметр γ теряет смысл, а во
втором необходимо, чтобы 0 < γ < 1.
Если ω
−
= 0, то главная часть квазиполинома (3.3) принимает вид
уравнения
1 = exp(−iω
0
),
которое имеет счетное число корней ω
0k
= 2πk, k ∈ Z. Получаем асимпто-
тическое представление корней (3.3), стремящихся к мнимой оси (k ∈ Z)
λ
k
= 2πik(1 − ε + ε
2
) − 2π
2
k
2
ε
2
+ O(ε
3
). (3.4)
Если 0 < γ < 1, ω
−
6= 0, то главная часть (3.3) представляется как
1 = exp(−iω
−
ε
−γ
− iω
0
(ε)). (3.5)
Введем величину θ = θ(ε) по правилу
θ(ε) ≡ −
ω
ε
γ
(mod 2π).
Таким образом, θ(ε) ∈ [0, 2π) и ω
−
ε
−γ
+ θ(ε) является целым кратным 2π.
Тогда видно, что при любом ω
−
уравнение (3.5) имеет корень ω
−
ε
−γ
i+θ(ε)i.
Следовательно, получаем еще одну асимптотику корней (3.3) (k ∈ Z)
λ
k
(ω, ε) =
ωk
ε
γ
i + kθ(ε)i + iε
1−γ
(−ωk + o(1)) + ε
2−2γ
µ
−
ω
2
k
2
2
+ o(1)
. (3.6)

Страницы