Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Динамика уравнения с большим запаздыванием 21
Отметим, что хоть формула (3.6) зависит от непрерывного параметра ω,
уравнение (3.3) имеет лишь счетное число корней.
Значит, при a = 1 у характеристического квазимногочлена (3.3) суще-
ствует бесконечное число корней, стремящихся к мнимой оси при ε → 0.
Аналогичным образом рассмотрим ситуацию a = a
0
= −1. В результате
получим, что при таком a квазиполином (3.3) также имеет счетное число
корней, действительная часть которых стремится к нулю. В случае ω
−
= 0
получаем асимптотику (k ∈ Z)
λ
k
= πi(2k − 1)(1 − ε + ε
2
) −
(2k − 1)
2
π
2
2
ε
2
+ O(ε
3
). (3.7)
Пусть 0 < γ < 1. Рассмотрим тогда величину θ
1
= θ
1
(ε) ∈ [0, π) такую, что
θ
1
(ε) ≡ −
ω
ε
γ
(mod π).
Тогда можно сказать, что у квазиполинома (3.3) есть корни с асимптотикой
(k ∈ Z)
λ
k
(ω, ε) =
ω(2k − 1)
ε
γ
i + (2k −1)θ
1
(ε)i + ε
1−γ
(−ω(2k − 1) + o(1))i+
+ ε
2−2γ
µ
−
ω
2
(2k − 1)
2
2
+ o(1)
.
(3.8)
Лемма 3.1 Если |a| < 1, то существуют такие M > 0 и ε
0
> 0, что
все корни характеристического квазиполинома (3.3) при всех 0 < ε < ε
0
удовлетворяют условию Re λ < −M.
Если |a| > 1, то существуют такие M > 0 и ε
0
> 0, что при каж-
дом 0 < ε < ε
0
квазиполином (3.3) имеет корень λ
0
, удовлетворяющий
Re λ
0
> M.
Для доказательства леммы нам достаточно показать, что при |a| > 1
найдутся M > 0 и ε
0
> 0 такие, что при 0 < ε ≤ ε
0
уравнение (3.3) имеет
корень с вещественной частью большей M. Обозначим через λ(a, ε) какой-
нибудь корень. Утверждение будет доказано, если удастся показать, что
для какого-нибудь номера k неравенства
Re
dλ(a, ε)
da
¯
¯
¯
¯
a=1,λ=λ
k
> 0 и Re
dλ(a, ε)
da
¯
¯
¯
¯
a=−1,λ=λ
k
< 0

Страницы