Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

22 Часть I. Локальный анализ
выполняются при всех 0 < ε < ε
0
. В первом неравенстве λ
k
определяется
по формуле (3.4), а во втором — по формуле (3.7). Вычислим значение дей-
ствительной части производной, которая стоит в левой части неравенств.
Получим
Re
dλ(a, ε)
da
=
1 + ε(εRe λ + 1 + 2Re λ + ε|λ|
2
)
a|ε + 1 + ελ|
2
.
Фиксируем λ = λ
k
(k возьмем произвольным). Тогда выражение, стоящее
в числителе дроби, при малых ε положительно, следовательно, знак всей
дроби совпадает со знаком a. Что и требовалось доказать.
3.3. Изучим динамику (3.2) при значениях a близких к 1. Если a = 1, то,
как было показано выше, у характеристического квазиполинома (3.3) нет
корней с отделенной при ε → 0 положительной вещественной частью и
есть счетное число корней λ
k
(ε), действительная часть которых стремит-
ся к нулю при ε → 0. Все такие корни описываются асимптотическими
равенствами (3.4) и (3.6).
Рассмотрим сначала случай, когда
a = 1 + ε
2
a
1
. (3.9)
В предыдущем параграфе мы рассматривали случай, когда только два
корня характеристического квазимногочлена стремились к мнимой оси.
Несмотря на то, что теперь таких корней бесконечное количество, восполь-
зуемся аналогичным методом.
Положим в (3.2)
x = ε
2
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
2πikt
1
+ ε
4
x
1
(t
1
, τ) + . . . , (3.10)
где τ = ε
2
t, t
1
= (1 −ε + ε
2
)t, а функция x
1
(t
1
, τ) предполагается периоди-
ческой по первому аргументу с периодом 1. Так же как и выше, подставим
выражение для x в формулу (3.2) и будем собирать коэффициенты при
одинаковых степенях ε. На первом и втором шаге, приравнивая коэффи-
циенты при ε
2
и ε
3
соответственно, получим верные тождества. На третьем
шаге придем к уравнению относительно x
1
.
x
1
= x
1
(t
1
− 1, τ) +
∞
X
k=−∞
[(a
1
− 2π
2
k
2
)ξ
k
(τ) −
dξ
k
dτ
]e
2πikt
1
+
+ f
2
Ã
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
2πikt
1
!
2
.

Страницы