Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

24 Часть I. Локальный анализ
Теорема 3.1 Пусть a
1
> 0. Тогда нулевое решение уравнения (3.2)
неустойчиво, и существует асимптотически устойчивое стационарное
решение y
0
(t, ε), причем
y(t) = −ε
2
a
1
f
2
(1 + o(1)).
Если же a
1
< 0, то нулевое решение уравнения (3.2) асимптотически
устойчиво.
Перейдем теперь к ситуации
a = 1 + ε
p
a
1
, 0 < p < 2. (3.14)
Положим γ = 1 − p/2.
Подставим в (3.2) следующий ряд:
x(t, ε) = ε
p
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
kit
1
+ ε
2p
x
2
(t
1
, τ) + . . . , (3.15)
где τ = ε
p
t, t
1
= (ωε
−γ
+ θ(ε) − ε
1−γ
ω + o(1))t, а x
2
(t
1
, τ) 2π-периодична
по первому аргументу. Действуя так же, как и выше, т.е. собирая коэф-
фициенты при одинаковых степенях ε, получим систему для определения
амплитуд ξ
k
, которую можно представить в виде одного параболического
уравнения
∂u
∂τ
=
1
2
∂
2
u
∂r
2
+ a
1
u + f
2
u
2
(3.16)
с периодическими краевыми условиями
u(τ, r) = u
µ
τ, r +
2π
ω
. (3.17)
Отметим, что выбор ω был абсолютно произволен. Следовательно, если
мы возьмем другое значение параметра ω = ω
1
, то получим аналогичную
(3.16)–(3.17) краевую задачу, но краевые условия будут уже иными. Таким
образом мы получили сразу целый класс уравнений, являющихся нормали-
зованными формами. Так же как и у системы (3.12)–(3.13), у краевой зада-
чи (3.16)–(3.17) могут быть устойчивы только пространственно-однородные
состояния равновесия (которые от выбора ω не зависят).

Страницы