Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Динамика уравнения с большим запаздыванием 25
Теорема 3.2 Пусть a
1
> 0. Тогда нулевое решение уравнения (3.2)
неустойчиво, и существует асимптотически устойчивое стационарное
решение, допускающее представление вида
x(t, ε) = −ε
p
a
1
f
2
(1 + o(1)).
Если же a
1
< 0, то нулевое решение уравнения (3.2) асимптотически
устойчиво.
3.4. Рассмотрим теперь (3.2) при значениях a близких к −1. Положим
сначала
a = −1 + ε
2
a
1
. (3.18)
Рассмотрим асимптотический ряд, аналогичный (3.10)
x(t, ε) = ε
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
πi(2k−1)t
1
+ ε
2
x
2
(t
1
, τ) + ε
3
x
3
(t
1
, τ) + . . . , (3.19)
где все параметры такие же, как и в предыдущем случае: τ = ε
2
t,
t
1
= (1 − ε + ε
2
)t, x
n
(t
1
, τ) периодичны по первому аргументу с перио-
дом 1. Подставим ряд (3.19) в (3.2) и последовательно будем приравнивать
коэффициенты при одинаковых степенях ε. При ε
1
, как легко убедиться,
получим верное тождество. Из уравнения, получившегося при ε
2
после оче-
видных сокращений,
x
2
+ x
2
(t
1
− 1, τ) = f
2
Ã
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
πi(2k−1)t
1
!
2
,
используя периодичность x
2
, получим
x
2
(t
1
, τ) =
f
2
2
Ã
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
πi(2k−1)t
1
!
2
.
Приравнивая коэффициенты при ε
3
, приходим к уравнению
x
3
+ x
3
(t
1
− 1, τ) =
∞
X
k=−∞
·µ
−
π
2
(2k − 1)
2
2
+ a
1
ξ
k
(τ) −
dξ
k
dτ
¸
e
πi(2k−1)t
1
+
+ 2f
2
x
2
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
πi(2k−1)t
1
+ f
3
Ã
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
πi(2k−1)t
1
!
3
.

Страницы