Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Динамика уравнения с большим запаздыванием 27
Рассмотрим теперь случай
a = −1 + ε
p
a
1
, 0 < p < 2. (3.23)
Положим γ = 1 − p/2.
Подставим в (3.2) следующий ряд:
x(t, ε) = ε
p/2
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
(2k−1)it
1
+ ε
p
x
2
(t
1
, τ) + ε
3p/2
x
3
(t
1
, τ) + . . . , (3.24)
где τ = ε
p
t, t
1
= (ωε
−γ
+ θ
1
(ε) − ε
1−γ
ω + o(1))t, а x
2
(t
1
, τ) и x
3
(t
1
, τ) 2π-
периодичны по первому аргументу. Напомним, что θ
1
(ε) ∈ [0, π) выбирает-
ся так, чтобы число ωε
−γ
+ θ
1
(ε) было целым кратным π. Действуя так же,
как и выше, т.е. собирая коэффициенты при одинаковых степенях ε, полу-
чим систему для определения амплитуд ξ
k
, которую можно представить в
виде одного параболического уравнения
∂u
∂τ
=
1
2
∂
2
u
∂r
2
+ a
1
u + (f
2
2
+ f
3
)u
2
(3.25)
с антипериодическими краевыми условиями
u(τ, r) = −u(τ, r +
π
ω
). (3.26)
Так же, как и в предыдущем пункте, мы получили в качестве нормализо-
ванной формы семейство краевых задач (3.25)–(3.26), зависящее от непре-
рывного параметра ω > 0. При различных значениях параметра динамика
этой задачи может быть, вообще говоря, различной.
Теорема 3.4 Пусть при каком-то фиксированном ω > 0 краевая зада-
ча (3.25)–(3.26) имеет решение u
∗
(τ, r). Тогда исходное уравнение (3.2)
имеет асимптотическое по невязке решение вида
x
∗
(t, ε) = ε
p/2
u
∗
(ε
p
t, (
ω
ε
γ
+ θ(ε) − ε
1−γ
ω + εθ(ε))t).
Из этой теоремы мы не можем сделать вывод, существует ли у (3.2)
точное решение с приведенной асимптотикой. Можем лишь сказать, что
если u
∗
неустойчиво, то даже если точное решение и существует, то оно
заведомо неустойчиво. Поэтому рассматривать нужно только устойчивые
решения (3.25)–(3.26).

Страницы