Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

28 Часть I. Локальный анализ
Упражнение 3.1. Рассмотрим квазилинейное уравнение
ε ˙z + z = az(t − 1) + µf(z(t −1)),
где 0 < µ ¿ 1. Покажите, что при условии a = 1 и a = −1 роль норма-
лизованного уравнения, описывающего динамику исходной системы уже
не в малой, но в произвольной фиксированной окрестности нуля, играют,
соответственно, краевые задачи
∂u
∂τ
=
δ
2
∂
2
u
∂r
2
+ f(u), u(τ, r) = u(τ, r + 1)
и
∂u
∂τ
=
δ
2
∂
2
u
∂r
2
+ Φ(u), u(τ, r) = −u(τ, r + 1),
где обозначено: δ = εµ
−1/2
, Φ(u) = (f(−u) − f(u))/2.
§4. Локальная динамика уравнения с двумя
запаздываниями
4.1. В этом и трех последующих параграфах изучим локальную динамику
дифференциального уравнения с двумя запаздываниями вида
˙x + x = ax(t − T ) + bx(t − T
1
) + f(x, x(t − T ), x(t − T
1
)). (4.1)
Уравнение (4.1) является естественным обобщением уравнения с одним за-
паздыванием. Здесь 0 < T < T
1
, а достаточно гладкая функция f(·, ·, ·)
имеет в нуле порядок малости выше первого. Для упрощения дальнейших
вычислений будем считать, что нелинейность f зависит только от первого
аргумента, т.е. f(x, y, z) ≡ f(x). Представим в окрестности нуля
f(x) = f
2
x
2
+ f
3
x
3
+ . . .
Ситуация, когда f зависит от x(t−T ) и от x(t−T
1
), разбирается полностью
аналогично.
Центральное место исследования занимает изучение поведения корней
характеристического квазиполинома
λ + 1 − a exp(−λT ) − b exp(−λT
1
), (4.2)
линеаризованного в нуле уравнения (4.1).

Страницы