Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Локальная динамика уравнения с двумя запаздываниями 29
Критический случай в задаче об устойчивости нулевого состояния рав-
новесия (4.1) реализуется при условии, когда характеристическое уравне-
ние (4.2) имеет корни с нулевой вещественной частью и не имеет с поло-
жительной. В отличие от случая одного запаздывания, здесь может реа-
лизовываться критический случай двух пар чисто мнимых корней; случай
нулевого и пары чисто мнимых корней и др. Наибольший интерес пред-
ставляет выявление тех особенностей, которые, во-первых, возникают при
условии, когда хотя бы один из параметров T или T
1
, характеризующих за-
паздывание, является достаточно большим и, во-вторых, специфичны для
уравнения с двумя запаздываниями.
4.2. Изучим динамику уравнения (4.1) при условии, когда параметр T
1
является достаточно большим. Здесь будем предполагать, что параметры
a, b и T как-то фиксированы, а для параметра T
1
выполнено условие
T
1
À 1. (4.3)
Выполним нормировку времени t → tT
1
. В итоге получим другую фор-
му записи уравнения (4.1)
ε ˙x + x = ax(t − εT ) + bx(t − 1) + f(x), (4.4)
где 0 < ε = T
−1
1
¿ 1.
Рассмотрим сначала линейное уравнение
ε ˙x + x = ax(t − εT ) + bx(t − 1)
и его характеристический квазиполином
ελ + 1 = a exp(−ελT ) + b exp(−λ). (4.5)
Введем комплексную функцию
P (ω) = iω + 1 − a exp(−iωT ) = ρ(ω) exp(iϕ(ω))
вещественного аргумента ω, которая получается из (4.5) при λ = iω. Здесь
ρ(ω) ≥ 0 и ϕ(ω) — вещественнозначные функции. Пусть b
0
такое, что
bb
0
≥ 0 и
|b
0
| = min
0≤ω<∞
ρ(ω) = ρ(ω
0
).
Отметим, что ω
0
определяется единственным образом. Сформулируем
несколько простых промежуточных утверждений. Через q ниже обозна-
чается некоторая положительная и не зависящая от ε постоянная, точное
значение которой несущественно.
В параграфе 1 была введена константа a
0
(T ).

Страницы