Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Локальная динамика уравнения с двумя запаздываниями 31
где θ(ε) ∈ [0, 2π) такое, что ω
0
ε
−1
+ θ(ε) является целым кратным 2π,
Ω ∈ [0, 2π) определяется уравнением
b
0
exp(−iΩ) = iω
0
+ 1 − a exp(−iω
0
T ),
а для λ
k1
и λ
k
2
справедливы формулы
λ
k1
= −ϕ
0
(ω
0
)(θ(ε) + Ω + 2πk)i,
λ
k2
= b
1
−
1
2
(ϕ
0
(ω
0
)
2
+
ρ
00
(ω
0
)
b
−1
0
)(θ(ε) + Ω + 2πk)
2
−
− (ϕ
0
(ω
0
))
2
(θ + Ω + 2πk)i −
1
2
ϕ
00
(ω
0
)(θ(ε) + Ω + 2πk)
2
i.
Рассмотрим асимптотический ряд
x(t, ε) = εe
(ω
0
ε
−1
+θ+Ω−εϕ
0
(ω
0
)(θ+Ω))ti
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
2πikt
1
+
+ εe
−(ω
0
ε
−1
+θ+Ω−εϕ
0
(ω
0
)(θ+Ω))ti
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
−2πikt
1
+
+ ε
2
x
2
+ ε
3
x
3
+ . . . ,
(4.9)
в котором t
1
= (1−εϕ
0
(ω
0
))t, τ = ε
2
t, а функции x
j
= x
j
(tε
−1
, t
1
, εt, τ) пери-
одичны по первым трем аргументам. Подставим этот ряд в (4.4) и соберем
коэффициенты при одинаковых степенях ε. При ε
3
получим уравнение от-
ноcительно x
3
, которое имеет периодические решения тогда и только тогда,
когда выполняются равенства
dξ
k
dτ
= λ
k2
ξ
k
+
³
3f
3
e
iΩ
+ 2f
2
£
P (2ω
0
) − b
0
e
−2iΩ
¤
−1
´
Ψ
k
(ξ), (4.10)
где через Ψ
k
(ξ) обозначен коэффициент при exp(2πikt) в разложении
функции
Ã
∞
X
m=−∞
ξ
m
(τ)e
2πimt
+
∞
X
m=−∞
ξ
m
(τ)e
−2πimt
!
3
в ряд Фурье.
Система (4.10) может быть записана в виде одной краевой задачи
∂u
∂τ
= d
1
∂
2
u
∂r
2
+ d
2
∂u
∂r
+ d
3
u + du|u|
2
, u(τ, r) ≡ u(τ, r + 1), (4.11)

Страницы