ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32 Часть I. Локальный анализ
где
d
1
=
1
2
((ϕ
0
(ω
0
)
2
+ ρ
00
(ω
0
)b
−1
0
+ iϕ
00
(ω
0
)),
d
2
= −(ϕ
0
(ω
0
))
2
+ 2id
1
(θ + Ω),
d
3
= b
1
− d
1
(θ + Ω)
2
− (ϕ
0
(ω
0
))
2
(θ + Ω),
d = 3f
3
e
iΩ
+ 2f
2
[P (2ω
0
) − b
0
e
−2iΩ
]
−1
.
Эта система играет роль нормальной формы для уравнения (4.4).
Теорема 4.1 Пусть (4.11) имеет периодическое орбитально устойчивое
(неустойчивое) решение u
∗
(τ, r). Тогда исходное уравнение (4.4) имеет
быстро осциллирующее асимптотическое по невязке решение
x
∗
(t) = εe
(ω
0
ε
−1
+θ+Ω−εϕ
0
(ω
0
)(θ+Ω))it
u(ε
2
t, t(1−εϕ
0
(ω
0
))+ к.с. )(1+o(1)). (4.12)
Пусть теперь выполнено условие (4.8). Тогда характеристический мно-
гочлен (4.5) имеет для любого ω > 0 набор корней вида
λ
k
(ε) =
µ
ω
0
ε
+
ωk
ε
1−p/2
+ θ
0
(ε) + kθ(ε) + Ω
¶
i+ε
p/2
i(λ
k1
+o(1))+ε
p
(λ
k2
+o(1)),
где θ
0
, θ ∈ [0, 2π) и дополняют до целого кратного 2π величины ω
0
ε
−1
и
ωε
p/2−1
соответственно. А коэффициенты λ
k1
и λ
k2
определяются по фор-
мулам
λ
k1
= −iωkϕ
0
(ω
0
),
λ
k2
= b
1
−
ω
2
k
2
2
((ϕ
0
(ω
0
)
2
+ ρ
00
(ω
0
)b
−1
0
).
Произведем в (4.4) замену, аналогичную (4.9)
x(t, ε) = ε
p/2
e
(ω
0
ε
−1
+θ
0
+Ω)ti
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
ωikt
1
+
+ ε
p/2
e
−(ω
0
ε
−1
+θ
0
+Ω)ti
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
−ωikt
1
+ ε
p
x
2
+ ε
3p/2
x
3
+ . . .
(4.13)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
