Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

34 Часть I. Локальный анализ
т.е. большое значение запаздывания присутствует в слагаемом с малым
множителем. Введем обозначения:
ε = T
−1
1
, b = ε
p
b
1
, где 0 < ε ¿ 1, 0 < p ≤ 1.
Тогда уравнение (4.4) записывается в виде
ε ˙x + x = ax(t − εT ) + ε
p
b
1
x(t − 1) + f(x). (4.17)
Рассмотрим линеаризованное уравнение
ε ˙x + x = ax(t − εT ) + ε
p
b
1
x(t − 1) (4.18)
и его характеристический квазиполином
ελ + 1 = a exp(−ελT ) + ε
p
b
1
exp(−λ). (4.19)
Кроме этого, рассмотрим характеристический квазимногочлен
λ + 1 = a exp(−λT ) (4.20)
„вырожденного“ уравнения
˙x + x = ax(t − T ). (4.21)
Сформулируем несколько простых утверждений.
Лемма 4.4 Пусть характеристический квазимногочлен (4.20) уравне-
ния (4.21) имеет корень λ
0
с положительной вещественной частью. То-
гда характеристический квазимногочлен (4.19) уравнения (4.18) имеет
корень λ
0
(ε) с асимптотикой
λ
0
(ε) =
λ
0
ε
+ o(ε
−1
).
Тем самым, при условии Re λ
0
> 0 и при достаточно малых ε решения
уравнения (4.18) неустойчивы и задача о поведении решений уравнения
(4.1) в малой окрестности состояния равновесия становится нелокальной.
Лемма 4.5 Пусть все корни характеристического квазимногочлена
(4.20) имеют отрицательные вещественные части. Тогда при малых ε
все решения линейного уравнения (4.18) и все решения из достаточно ма-
лой (но не зависящей от ε) окрестности нулевого состояния равновесия
уравнения (4.1) стремятся к нулю при t → ∞.

Страницы