Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Локальная динамика уравнения с двумя запаздываниями 35
Таким образом, в изучении нуждаются лишь так называемые крити-
ческие случаи, когда характеристический квазиполином (4.20) уравнения
первого приближения (4.21) имеет корни с нулевой вещественной частью и
не имеет с положительной. Критических случаев, как было показано в §1,
возможны лишь два. Первый из них реализуется, когда a = 1, и уравнение
(4.20) имеет простой нулевой корень, а второй — когда a = a
0
(T ) < 0, и
уравнение (4.20) имеет пару чисто мнимых корней λ = ±iω
0
.
Первый случай. Пусть
a = 1 + ε
p
a
1
.
Тогда уравнение первого приближения (4.20) имеет корень
λ
0
(ε) = (1 + T )
−1
a
1
ε + O(ε
2
),
а все остальные его корни имеют отрицательные вещественные части и
отделены от мнимой оси при ε → 0. Рассмотрим вопрос о поведении корней
уравнения (4.19).
Если a
1
> 0, то у него существует корень λ
+
(ε) = a
1
ε
p−1
(1 + o(1)). По-
нятно, что при малых ε этот корень имеет положительную вещественную
часть и отделен от нуля. Следовательно, в некоторой окрестности нулевого
решения уравнения (4.4) нет устойчивых решений.
Если a
1
< 0, то положим в (4.19) λ = ε
p−1
λ
1
(ε) + . . .. Выделяя главную
часть уравнения, получим, что λ
1
(ε) должно удовлетворять
(1 + T )λ
1
(ε) = a
1
+ b
1
exp(−ε
p−1
λ
1
(ε)). (4.22)
Уравнение (4.22) является характеристическим квазиполиномом для урав-
нения с запаздыванием
(1 + T ) ˙x = a
1
x + b
1
x(t − ε
p−1
). (4.23)
Обозначим через λ
1k
(k = 0, 1, . . .) все корни (4.22) (занумеруем в порядке
убывания вещественных частей). Таким образом определяется бесконечное
множество корней λ
k
(ε) (k = 0, 1, . . .) уравнения (4.19) вида
λ
k
(ε) = ε
p−1
λ
1k
+ O(ε
2
),
а значит, устойчивость решений уравнения (4.18) определяется свойствами
устойчивости решения уравнения (4.23).
Перейдем теперь к рассмотрению нелинейного уравнения (4.17). Поло-
жим в нем
x(t, ε) = ε
p
ξ(τ) + ε
2
x
2
(τ) + ε
3
x
3
(τ) + . . . , (4.24)

Страницы