Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Локальная динамика уравнения с двумя запаздываниями 37
При этом все остальные корни квазимногочлена (4.20) имеют отрицатель-
ные вещественные части и отделены от нуля при ε → 0. При условии (4.26)
рассмотрим вопрос об устойчивости решений линейного уравнения (4.18).
Для этого изучим поведение корней его характеристического квазимного-
члена (4.19). Введем одно обозначение. Пусть
θ = θ(ε) = −
ω
0
(T )
ε
(mod 2π).
То есть θ(ε) ∈ [0, 2π), и выражение ω
0
(T )ε
−1
+θ(ε) является целым кратным
2π. Затем в (4.19) положим
λ = λ(ε) =
iω
0
(T )
ε
+ ε
p−1
λ
1
(ε) + . . .
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях ε, приходим к уравне-
нию для определения λ
1
(ε)
λ
1
= A + B exp(−λ
1
ε
p−1
), (4.28)
в котором
A =
a
1
(iω
0
(T ) + 1)
1 + (iω
0
(T ) + 1)T
B =
b
1
1 + (iω
0
(T ) + 1)T
exp(iθ(ε))
Уравнение (4.28) имеет счетное множество корней λ
1k
(k = 1, 2, . . .), ко-
торые можно занумеровать в порядке убывания их вещественных частей.
Важно отметить, что это уравнение является характеристическим квази-
полиномом уравнения с запаздыванием
˙x − Ax = Bx(t − ε
p−1
).
Все остальные корни характеристического квазиполинома (4.19) имеют
отрицательные вещественные части, которые при ε → 0 находятся в левой
комплексной полуплоскости и отделены от мнимой оси.
Вернемся к исходному нелинейному уравнению (4.17). Положим в нем
x(t, ε) = ε
p/2
h
ξ(τ )e
iω
0
(T )ε
−1
t
+ к.с.
i
+ ε
p
x
2
(t, τ) + ε
3p/2
x
3
(t, τ) + . . . , (4.29)

Страницы