Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Динамика уравнения с двумя большими „близкими“ ... 39
Теорема 4.4 Пусть уравнение (4.31) имеет решение ξ
∗
(τ). Тогда урав-
нение (4.17) имеет решение по невязке с точностью O(ε
p
) вида
x
∗
(t, ε) = ε
p/2
³
ξ
∗
(εt)e
iω
0
(T )t
+
ξ
∗
(εt)e
−iω
0
(T )t
´
(1 + o(1))
Упражнение 4.1. Покажите, что если нелинейная функция f зависит не
только от x(t), но и от x(t −T ) и от x(t −ε
−1
), то нормализованная форма
для уравнения (4.1) при условиях (4.3), (4.16) и (4.26) будет иметь вид
dξ
dτ
− Aξ = Bξ(τ −1) + σ
1
|ξ|
2
ξ + σ
2
|ξ|
2
ξ(τ − 1) + σ
3
ξ
2
ξ(τ − 1) +
+ σ
4
ξ|ξ(τ − 1)|
2
+ σ
5
ξξ
2
(τ −1) + σ
6
|ξ(τ − 1)|
2
ξ(τ − 1).
Упражнение 4.2. Постройте в окрестности нуля нормализованную фор-
му для уравнения
˙x = εb
1
x(t −
1
ε
) + ax
2
(t) + bx
2
(t −
1
ε
).
Упражнение 4.3. Постройте в окрестности нулевого состояния равнове-
сия нормализованную форму для уравнения
˙x = −
π
2
(1 + εa
1
)x(t − 1) + εb
1
x(t −
1
ε
) + f(x, x(t − 1), x(t −
1
ε
).
§5. Динамика уравнения с двумя большими
„близкими“ друг другу запаздываниями
5.1. Так же, как и в предыдущем параграфе, рассматривается уравнение
˙x + x = ax(t − T
1
) + bx(t − T
2
) + f(x). (5.1)
Здесь по-прежнему 0 < T
1
< T
2
, а достаточно гладкая функция f(·) имеет
в нуле порядок малости выше первого. Будем считать, что
f(x) = f
2
x
2
+ f
3
x
3
+ . . .
Основное предположение этого параграфа состоит в том, что оба зна-
чения T
1
и T
2
достаточно большие и относительно близкие друг другу ве-
личины, т.е.
T
1
= ε
−1
, T
2
= T
1
(1 + εc), 0 < ε ¿ 1. (5.2)

Страницы