Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Динамика уравнения с двумя большими „близкими“ ... 41
где через ϕ
k
(ξ) обозначен коэффициент при exp(2πikt) в разложении функ-
ции
Ã
∞
X
k=−∞
ξ
k
e
2πikt
!
2
в ряд Фурье. Бесконечномерную систему (5.9) можно свернуть в одно урав-
нение в частных производных
∂u
∂τ
=
1 + a
0
b
0
c
2
2
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
(5.10)
с краевыми условиями
u(τ, r) = u(τ, r + 1). (5.11)
Отметим, что выполнение условий 1 + a
0
b
0
c
2
> 0 гарантирует параболич-
ность этой задачи. У краевой задачи (5.10)–(5.11) устойчивыми могут быть
только пространственно-однородные состояния равновесия.
Приведем основной результат.
Теорема 5.1 Если a
1
+b
1
< 0, то при малых ε нулевое решение уравнения
(5.3) асимптотически устойчиво.
Если a
1
+ b
1
> 0, то при малых ε нулевое решение уравнения (5.3)
неустойчиво, а в его окрестности существует асимптотически устой-
чивое близкое к постоянному решение вида
x
∗
= −ε
2
(a
1
+ b
1
)f
−1
2
(1 + o(1)).
Аналогично, если
a = a
0
+ ε
p
a
1
, b = b
0
+ ε
p
b
1
, a
0
+ b
0
= 1, 1 + a
0
b
0
c
2
> 0, 0 < p < 2,
сделаем замену
x(t, ε) = ε
p
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
2πikt
1
+ ε
2p
x
2
(t
1
, τ) + . . . (5.12)
Здесь τ = ε
p
t, t
1
= (ωε
−γ
+ θ(ε) − ε
1−γ
ω + o(ε
1−γ
))t, а функция x
2
(t
1
, τ)
является периодической по первому аргументу с периодом 2π/ω. Как и в
§3, ω — это произвольное положительное число, γ = 1 − p/2, а θ ∈ [0, 2π]
дополняет ωε
−γ
до целого кратного 2π. Подставим (5.12) в (5.3) и начнем

Страницы