ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
42 Часть I. Локальный анализ
собирать коэффициенты при одинаковых степенях ε. В итоге придем к
параболическому уравнению
∂u
∂τ
=
1 + a
0
b
0
c
2
2
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
(5.13)
с периодическими краевыми условиями
u(τ, r) = u(τ, r +
2π
ω
). (5.14)
Как и раньше, в качестве нормализованной формы для (5.3) мы получили
семейство краевых задач (5.13)–(5.14), зависящее от непрерывного пара-
метра ω > 0. Однако, при каждом ω у соответствующей задачи устойчивы
могут быть только пространственно-однородные состояния равновесия, ко-
торые не зависят от ω. Поэтому в данном случае имеет место теорема 5.1.
5.3. Предположим теперь, что выполнено условие (5.6). Похожая ситуация
рассматривалась в пункте 3.4 §3. Пусть сначала
a = a
0
+ ε
2
a
1
, b = b
0
+ ε
2
b
1
, a
0
+ b
0
= −1, 1 + a
0
b
0
c
2
> 0.
Тогда действуя по той же схеме, что и в пункте 3.4 §3, получим, что локаль-
ная динамика уравнения (5.3) определяется в главном поведением решений
краевой задачи параболического типа
∂u
∂τ
=
1 + a
0
b
0
c
2
2
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u + (f
2
2
+ f
3
)u
3
(5.15)
u(τ, r) = −u(τ, r + 1). (5.16)
Приведем основной результат в этом случае.
Теорема 5.2 Пусть краевая задача (5.15)–(5.16) имеет решение u
∗
(τ, r).
Тогда при достаточно малых ε уравнение (5.3) имеет асимптотическое
по невязке решение x
∗
(t, ε). Причем
x
∗
(t, ε) = εu
∗
(ε
2
(1 + o(1))t, (1 + o(1))t) + o(1).
Аналогично, если
a = a
0
+ ε
p
a
1
, b = b
0
+ ε
p
b
1
, a
0
+ b
0
= −1, 1 + a
0
b
0
c
2
> 0, 0 < p < 2,
то нормальная форма имеет вид
∂u
∂τ
=
1 + a
0
b
0
c
2
2
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u + (f
2
2
+ f
3
)u
3
(5.17)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
