ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
44 Часть I. Локальный анализ
Лемма 5.2 Пусть выполнено (5.19) и β < β
0
. Тогда при достаточно ма-
лых значениях ε квазиполином (5.4) имеет корень с вещественной ча-
стью, которая имеет положительный предел при ε → 0.
Обоснование этих утверждений стандартно, поэтому мы его опустим.
Отметим, что в условиях леммы 5.1 все решения (5.3) из некоторой доста-
точно малой и не зависящей от ε окрестности нулевого состояния равнове-
сия стремятся к нулю при t → ∞.
Таким образом в рассмотрении нуждается „критический“ случай, когда
в (5.3) β = β
0
. Из (5.20) имеем
a, b =
1
2
(
√
α ±
p
α − 4β).
Положим сначала в (5.3)
a = a
0
+ εa
1
, b = b
0
+ εb
1
, a
0
, b
0
=
1
2
(
√
α ±
p
α − 4β
0
)
Из (5.21) вытекает, что
¯
¯
(iω
0
+ 1)(a
0
+ b
0
exp(−icω
0
))
−1
¯
¯
= 1.
Вещественное значение Ω ∈ [0, 2π) определим равенством
e
−iΩ
= (iω
0
+ 1)(a
0
+ b
0
exp(−icω
0
))
−1
.
Наконец, через θ
0
(ε) обозначим такое значение из полуинтервала [0, 2π),
что выражение ω
0
ε
−1
+ θ
0
(ε) является целым кратным 2π.
Относительно корней характеристического квазиполинома (5.4) мож-
но тогда утверждать следующее: имеется счетное множество таких корней
λ
k
(ε) (k = 0, ±1, ±2, . . .), асимптотика которых имеет вид
λ
k
(ε) = i
³
ω
0
ε
+ θ
0
(ε) + 2kπ + Ω
´
+ ελ
k1
+ ε
2
λ
k2
+ . . . , (5.23)
а все остальные корни (5.4) имеют отрицательные вещественные ча-
сти, отделенные от мнимой оси при ε → 0. При этом Re λ
k1
= 0,
Re λ
k2
= −4k
2
π
2
d
1
.
Похожая ситуация была исследована в пункте 4.2 §4. Опуская анало-
гичные построения, можно показать, что роль нормализованной формы в
этом случае играет параболическое уравнение
∂u
∂τ
= d
1
∂
2
u
∂r
2
+ d
2
∂u
∂r
+ d
3
u + du|u|
2
(5.24)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
