Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Динамика уравнения с двумя большими „близкими“ ... 43
u(τ, r) = −u(τ, r +
π
ω
). (5.18)
Здесь ω — это произвольное положительное число. Теорема, аналогичная
теореме 5.2, имеет место.
Теорема 5.3 Пусть при каком-то ω > 0 краевая задача (5.17)–(5.18)
имеет решение u
∗
(τ, r). Тогда при достаточно малых ε уравнение (5.3)
имеет решение по невязке x
∗
(t, ε). Причем
x
∗
(t, ε) = ε
p/2
u
∗
(ε
p
(1 + o(1))t, (1 + o(1))t) + o(1).
Таким образом, при выполнении условий (5.2), (5.5) или (5.6), (5.7) на-
личие двух больших запаздываний не приводит к принципиальному услож-
нению динамики уравнения (5.3), а значит, и уравнения (5.1).
5.4. Изучим теперь динамику (5.3) при условии
|a + b| < 1. (5.19)
Анализируя корни характеристического квазимногочлена (5.4), можно
выделить критический случай в задаче об устойчивости нулевого состояния
равновесия. Введем несколько обозначений. Положим
α = (a + b)
2
, β = ab (5.20)
и при фиксированных значениях α ∈ (0, 1) и c > 0 рассмотрим систему
двух уравнений
R(ω) = ω
2
+ 1 − α + 2β(1 − cos(cω)) = 0 (5.21)
и
R
0
(ω) = 2[ω + βc sin(cω)] = 0 (5.22)
относительно неизвестных вещественных ω > 0 и β. Обозначим через ω
0
и
β
0
корни этой системы, если они существуют. В случае если корней несколь-
ко, берем тот, где значение β
0
наибольшее. Отметим, что для β
0
выполнено
неравенство β
0
< 0.
Лемма 5.1 Пусть выполнено условие (5.19) и β > β
0
. Тогда, при доста-
точно малых ε все корни характеристического квазиполинома (5.4) име-
ют отрицательные вещественные части и отделены от нуля при ε → 0.

Страницы