Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Динамика уравнения с двумя большими „близкими“ ... 45
с краевыми условиями
u(τ, r) = u(τ, r + 1). (5.25)
Здесь d
1
, d
2
= d
2
(θ
0
(ε)), d
3
= d
3
(θ
0
(ε)) и d — некоторые комплексные числа,
причем Re d
1
> 0. Формулы для их вычисления могут быть записаны явно,
однако они являются весьма громоздкими, поэтому приводить их мы не
будем.
Теорема 5.4 Пусть (5.24)–(5.25) имеет решение u
∗
(τ, r). Тогда исходное
уравнение имеет асимптотическое по невязке решение вида
x(t, ε) = ε(exp((ω
0
ε
−1
+ Ω + θ
0
(ε))it)u
∗
(ε
2
t, (1 + o(1))t) + к.с.)(1 + o(1)).
Отметим, что точного решения с приведенной асимптотикой может и не
существовать. Однако, если u
∗
(τ, r) неустойчиво, то даже если точное ре-
шение и существует, то оно неустойчиво.
Аналогичным образом разбирается ситуация
a = a
0
+ ε
p
a
1
, b = b
0
+ ε
p
b
1
, a
0
, b
0
=
1
2
(
√
α ±
p
α − 4β
0
), 0 < p < 1.
В этом случае для корней характеристического квазиполинома (5.4) асимп-
тотическую формулу удобно записать в следующем виде:
λ
k
(ε) = i
µ
ω
0
ε
+
ωk
ε
1−p/2
+ θ(ε) + kθ
0
(ε) + Ω
+ ε
p/2
λ
k1
+ ε
p
λ
k2
+ . . . . (5.26)
Здесь ω ≥ 0 — произвольное, фиксированное число, а θ(ε) ∈ [0, 2π) допол-
няет ωε
1−p/2
до целого, кратного 2π.
Производя те же действия, что и ранее, в качестве нормализованной
формы мы получим набор краевых задач
∂u
∂τ
= d
1
∂
2
u
∂r
2
+ d
2
∂u
∂r
+ d
3
u + du|u|
2
, (5.27)
u(τ, r) = u(τ, r +
2π
ω
). (5.28)
Теорема, аналогичная теореме 5.4, имеет место.
Теорема 5.5 Пусть при фиксированном ω система (5.27)–(5.28) имеет
решение u
∗
(τ, r). Тогда исходное уравнение имеет асимптотическое по
невязке решение вида
x(t, ε) = ε
p/2
(exp((ω
0
ε
−1
+ Ω + θ(ε))it)u
∗
(ε
p
t, (1 + o(1))t) + к.с. )(1 + o(1)).

Страницы