Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Динамика уравнения с двумя большими „близкими“ ... 47
В этих формулах ω, λ
0
, λ
1
и λ
2
— это действительные числа, причем λ
0
,
λ
1
и λ
2
имеют порядок O(1). Для определения ω и λ
0
в обоих случаях
справедливы равенства
ω =
2πk
c
, λ
0
(ε) = 2πkθ(ε) + 2πn, a > 0, b > 0; (5.34)
ω =
π(2k + 1)
c
, λ
0
(ε) = 2πkθ(ε) + θ
1
(ε) + 2πn, a > 0, b < 0; (5.35)
ω =
π(2k + 1)
c
, λ
0
(ε) = π(2k + 1)θ(ε) + 2πn, a < 0, b > 0; (5.36)
ω =
2πk
c
, λ
0
(ε) = 2πkθ(ε) + π(2n + 1), a < 0, b < 0. (5.37)
Главные части λ
1
и λ
2
теперь определяются без труда. Введем в рассмот-
рение значение p
∗
, которое вычисляется по правилу
p
∗
=
½
2 − 2q,
1
2
≤ q < 1,
2q, 0 < q <
1
2
.
Будем далее считать, что параметры a и b таковы, что значение выра-
жения |a| + |b| близко к единице. Положим
a = a
0
+ ε
p
∗
a
1
, b = b
0
= ε
p
∗
b
1
, |a
0
| + |b
0
| = 1. (5.38)
Первый случай. Пусть a
0
≥ 0, b
0
≥ 0. Тогда сделаем в (5.30) замену
x = ε
p
∗
X
ξ
k
(τ)e
(ωε
−q
+λ
0
+ε
p
∗
/2
λ
1
)it
+ ε
2p
∗
x
2
(t, τ) + . . . , (5.39)
где τ = ε
p
∗
t, а x
2
предполагается периодической по первому аргументу с
периодом 1. Производя стандартные операции, получим, что амплитуды ξ
k
должны удовлетворять системе уравнений, которую можно представить в
виде краевой задачи параболического типа. Эта краевая задача является
нормализованной формой для (5.30) в этом случае.
При
1
2
≤ q < 1 получается следующая система
∂u
∂τ
=
1
2c
2
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
, (5.40)
u(τ, r) = u(τ, r + 1). (5.41)
Динамика этой задачи проста — устойчивы только пространственно-
однородные состояния равновесия. Справедлива следующая теорема.

Страницы