Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

48 Часть I. Локальный анализ
Теорема 5.6 Пусть краевая задача (5.40)–(5.41) имеет экспоненциально
устойчивое пространственно-однородное состояние равновесия u
∗
. Тогда
исходное уравнение (5.30) имеет асимптотически устойчивое решение с
асимптотикой
x
∗
= ε
2−2q
u
∗
(1 + o(1)).
Если 0 < q <
1
2
, то нормализованная форма принимает вид
∂u
∂τ
=
a
0
b
0
c
2
2
µ
∂
2
u
∂r
2
θ
2
+ 2
∂
2
u
∂r∂s
θ +
∂
2
u
∂s
2
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
, (5.42)
u(τ, r, s) = u(τ, r + 1, s) = u(τ, r, s + 1). (5.43)
Эта система является вырожденной. Однако, зная ее решения мы можем
находить асимптотические по невязке решения исходного уравнения (5.30).
Теорема 5.7 Пусть система (5.42)–(5.43) имеет решение u
∗
(τ, r, s). То-
гда исходное уравнение (5.30) имеет асимптотическое по невязке реше-
ние вида
x
∗
(t, ε) = ε
2q
u
∗
µ
ε
2q
t, (
1
cε
q
+ θ − ε
q
b
0
cθ + o(ε
q
))t, (1 − ε
q
b
0
c + o(ε
q
))t
(1+o(1)).
Второй случай. Пусть a
0
≥ 0, b
0
< 0. Если
1
2
≤ q < 1, то роль нормали-
зованной формы играет система
∂u
∂τ
=
1
2c
2
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u +
µ
2f
2
2
1 − a
0
− b
0
+ f
3
u
3
, (5.44)
u(τ, r) = −u(τ, r + 1). (5.45)
Связь между решениями нормализованной формы и исходного уравнения
(5.30) описывает следующая теорема.
Теорема 5.8 Пусть (5.44)–(5.45) имеет решение u
∗
(τ, r). Тогда уравне-
ние (5.30) имеет асимптотическое по невязке решение
x
∗
(t, ε) = ε
p
∗
/2
u
∗
³
ε
p
∗
t, (c
−1
ε
−q
+ θ − ε
p
∗
/2
c
−1
+ o(ε
p
∗
/2
))t
´
(1 + o(1)).
Если 0 < q <
1
2
, то нормализованной формой уравнения (5.30) является
краевая задача
∂u
∂τ
=
|a
0
||b
0
|c
2
2
µ
∂
2
u
∂r
2
θ
2
+ 2
∂
2
u
∂r∂s
θ +
∂
2
u
∂s
2
+(a
1
+b
1
)u+
µ
2f
2
2
1 − a
0
− b
0
+ f
3
u
3
,
(5.46)
u(τ, r, s) = −u(τ, r + 1, s) = −u(τ, r, s + 1). (5.47)

Страницы