Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

46 Часть I. Локальный анализ
5.5. В заключение параграфа рассмотрим следующую ситуацию. Пусть
вместо (5.2) выполняется
T
1
= ε
−1
, T
2
= T
1
(1 + ε
q
c), 0 < ε ¿ 1, q > 0. (5.29)
Тогда, после стандартной замены времени исходное уравнение приводится
к виду
ε ˙x + x = ax(t − 1) + bx(t − 1 − ε
q
c) + f
2
x
2
+ f
3
x
3
+ . . . (5.30)
Характеристический квазимногочлен линеаризованного в нуле уравнения
(5.30) принимает вид
ελ + 1 = e
−λ
(a + be
−cε
q
λ
). (5.31)
Если для параметра q выполняется условие q ≥ 1, то для (5.29) верны
все приведенные выше рассуждения. Будем далее считать, что 0 < q < 1.
Лемма 5.3 Пусть |a|+|b| > 1, тогда характеристический квазиполином
(5.31) имеет корень с положительной вещественной частью, отделен-
ный от мнимой оси. В этом случае нулевое решение (5.30) неустойчиво,
и в некоторой достаточно малой (но не зависящей от ε) его окрестности
нет устойчивых режимов.
Пусть |a| + |b| < 1, тогда все корни характеристического квазиполи-
нома (5.31) имеют отрицательные вещественные части и отделены от
мнимой оси при ε → 0. В этом случае нулевое решение (5.30) асимпто-
тически устойчиво, все решения из некоторой достаточно малой (но не
зависящей от ε) окрестности нуля стремятся к нулю.
Если |a| + |b| = 1, то у характеристического уравнения (5.31) не су-
ществует корней в правой комплексной полуплоскости, отделенных от
мнимой оси, и существует бесконечное количество корней стремящихся
к мнимой оси при ε → 0.
Асимптотика корней (5.31), стремящихся к мнимой оси, существенно
зависит от точного значения параметра q. Справедливы следующие фор-
мулы:
λ =
ω
ε
q
i + λ
0
(ε)i + ε
1−q
λ
1
(ε)i + ε
2−2q
λ
2
(ε),
1
2
≤ q < 1; (5.32)
λ =
ω
ε
q
i + λ
0
(ε)i + ε
q
λ
1
(ε)i + ε
2q
λ
2
(ε), 0 < q <
1
2
. (5.33)

Страницы