ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§ 5. Динамика уравнения с двумя большими „близкими“ ... 49
Теорема 5.9 Пусть краевая задача (5.46)–(5.47) имеет решение
u
∗
(τ, r, s). Тогда уравнение (5.30) имеет асимптотическое по невязке
решение вида
x
∗
(t, ε) = ε
q
u
∗
µ
ε
2q
t, (
1
cε
q
+ θ − ε
q
b
0
cθ + o(ε
q
))t, (1 − ε
q
b
0
c + o(ε
q
))t
¶
(1+o(1)).
Третий случай. Пусть a
0
< 0, b
0
> 0. Если
1
2
≤ q < 1, то в качестве
нормализованной формы мы получим краевую задачу (5.44)–(5.45). Соот-
ветственно, будет верна и теорема 5.8.
Если 0 < q <
1
2
, то роль нормализованной формы будет играть уравне-
ние (5.46) с краевыми условиями
u(τ, r, s) = −u(τ, r + 1, s), u(τ, r, s) = u(τ, r, s + 1). (5.48)
Теорема, аналогичная теореме 5.9, имеет место.
Четвертый случай. Пусть, наконец, a
0
< 0, b
0
< 0. Тогда при
1
2
≤ q < 1
нормализованная форма принимает вид параболической краевой задачи
∂u
∂τ
=
1
2c
2
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u +
¡
f
2
2
+ f
3
¢
u
3
, (5.49)
u(τ, r) = u(τ, r + 1). (5.50)
В этом случае также верна теорема, аналогичная теореме 5.8.
Если же 0 < q <
1
2
, то роль нормализованной формы играет уравнение
∂u
∂τ
=
a
0
b
0
c
2
2
µ
∂
2
u
∂r
2
θ
2
+ 2
∂
2
u
∂r∂s
θ +
∂
2
u
∂s
2
¶
+ (a
1
+ b
1
)u +
¡
f
2
2
+ f
3
¢
u
3
(5.51)
с краевыми условиями
u(τ, r, s) = u(τ, r + 1, s), u(τ, r, s) = −u(τ, r, s + 1). (5.52)
Упражнение 5.1.
Постройте нормализованную форму для уравнения (5.30) в случае, ко-
гда параметры a и b задаются формулами
a = a
0
+ ε
p
a
1
, b = b
0
+ ε
p
b
1
|a
0
| + |b
0
| = 1, p 6= p
∗
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
