ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§ 6. Динамика уравнения с двумя большими... 51
Тогда характеристический многочлен (6.3) не имеет корней с положи-
тельной вещественной частью, отделенных от мнимой оси, и при каж-
дом ε
0
> 0 и натуральном n имеет при малых ε не менее n корней λ
j
(ε)
удовлетворяющих условию |Re λ
j
(ε)| < ε
0
.
Тем самым возникает задача изучения локального (в окрестности нуле-
вого состояния равновесия) поведения решений уравнения (6.1) при усло-
вии (6.4). В связи с этим положим
a = a
0
+ εa
1
, b = b
0
+ εb
1
, |a
0
| + |b
0
| = 1. (6.5)
Как оказывается, построение аналога нормальной формы в этом случае
во многом зависит от алгебраических свойств коэффициента k. Проиллю-
стрируем это.
Рассмотрим так называемое „вырожденное“ характеристическое урав-
нение
1 = a
0
exp(−λ) + b
0
exp(−kλ). (6.6)
Положим λ = iω (ω ≥ 0). Тогда получаем систему двух уравнений относи-
тельно ω
1 = a
0
cos ω + b
0
cos(kω), 0 = a
0
sin(ω) + b
0
sin(kω). (6.7)
Выделим отдельно несколько случаев.
Первый случай. Предположим, что число k иррациональное. Тогда най-
дется такая последовательность ω
n
→ ∞, для которой
|1 − a
0
cos ω
n
+ b
0
cos(kω
n
)| + |a
0
sin(ω) + b
0
sin(kω)| → 0, (6.8)
но точные равенства (6.7) не выполняются. В этом случае получить аналог
нормальной формы затруднительно.
Предположим далее, что число k рациональное, т.е. для некоторых це-
лых, взаимно простых чисел m и n имеет место
k =
m
n
.
Второй случай. a
0
> 0, b
0
> 0, т.е. a
0
+ b
0
= 1. В этом случае уравнение
(6.6) имеет бесконечно много корней λ
j0
= iω
j
, где j ∈ Z, ω
j
= 2πnj.
Здесь применимы все построения, приведенные в предыдущих парагра-
фах. Повторяя соответствующие утверждения, получаем в качестве анало-
га нормальной формы уравнения (6.2) краевую задачу
∂u
∂τ
=
(a
0
n
2
+ b
0
m
2
)n
3
2(a
0
n + b
0
m)
3
∂
2
u
∂r
2
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
, (6.9)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
