Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 6. Динамика уравнения с двумя большими... 53
Теорема 6.1 Пусть k таково, что реализуется второй или четвертый
случай. Пусть соответствующая нормализованная форма имеет экспо-
ненциально устойчивое состояние равновесия u
∗
. Тогда у исходного урав-
нения (6.2) существует решение
x
∗
(t, ε) = ε
2
u
∗
+ o(ε
2
)
той же устойчивости.
Теорема 6.2 Пусть k таково, что выполняется третий или пятый
случай. Пусть соответствующая нормализованная форма имеет реше-
ние u
∗
(τ, r). Тогда исходное уравнение (6.2) имеет асимптотическое по
невязке решение вида
x
∗
(t, ε) = εu
∗
(ε
2
t, t(1 + o(1)))(1 + o(1)).
6.2. Пусть вместо (6.5) выполнено условие
a = a
0
+ ε
p
a
1
, b = b
0
+ ε
p
b
1
, |a
0
| + |b
0
| = 1, 0 < p < 1.
В этом случае все приведенные рассуждения тоже имеют место. В каче-
стве нормализованной формы (когда ее возможно будет построить) мы бу-
дем получать семейства краевых задач параболического типа. Во втором
и четвертом случаях система будет состоять из уравнения (6.9) или (6.13)
и краевых условий
u(τ, r) = u(τ, r +
2π
ω
),
где ω — произвольное положительное число. А в третьем и пятом случаях
нормализованная форма будет состоять из уравнения (6.11) или (6.15) и
краевых условий
u(τ, r) = −u(τ, r +
π
ω
).
Теоремы, аналогичные теоремам 6.1 и 6.2, также имеют место.
Упражнение 6.1. Рассмотрите уравнение (6.1) при условии
T
1
=
1
ε
, T
2
= (k
0
+ εk
1
)
1
ε
, 0 < ε ¿ 1.

Страницы