Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 7. Динамика уравнения с большим и очень большим... 55
Положим
a = a
0
+ ε
2
b
0
a
1
, b = b
0
+ ε
2
b
0
b
1
, |a
0
| + |b
0
| = 1.
Первый случай. Пусть a
0
≥ 0, b
0
> 0. Тогда уравнение (7.3) имеет
бесконечное количество корней (k, n ∈ Z)
λ
nk
= 2πik + ε (2πn + kθ) ic − ε
2
c
b
0
(2πk + a
0
c(2πn + kθ)) i −
−ε
3
µ
a
0
c
3
2b
2
0
(2πn + kθ)
2
+ 2
c
b
2
0
π
2
k
2
+ 2πk
a
0
c
2
b
2
0
(2πn + kθ) − c(a
1
+ b
1
)
+
+ε
3
µ
(2πn + kθ)(
a
2
0
c
3
− b
0
c
2
b
2
0
) + 2
a
0
c
b
0
πk
i + . . . ,
где θ = θ(ε) = 2πθ
1
(ε), а θ
1
(ε) ∈ [0, 1) дополняет (cε)
−1
до целого числа.
Рассмотрим асимптотический ряд
x(t, ε) = ε
2
∞
X
k,n=−∞
ξ
kn
(τ)e
2πikt
1
e
2πint
2
+ ε
4
x
2
(t
1
, t
2
, τ) + . . . , (7.4)
где τ = cε
3
t,
t
1
=
³
1 + εcθ
1
(ε) − ε
2
c
b
0
(1 + a
0
cθ
1
(ε)) + ε
3
c
b
0
(a
0
− cθ
1
(ε) +
a
2
0
c
2
b
0
θ
1
(ε))
´
t,
t
2
= ε
¡
c − εa
0
c
2
b
−1
0
+ ε
2
(a
2
0
c
3
b
−2
0
− c
2
b
−1
0
)
¢
t,
а x
2
(t
1
, t
2
, τ) периодична по первым двум аргументам с периодом 1.
Подставим (7.4) в (7.2) и будем последовательно приравнивать коэф-
фициенты при одинаковых степенях ε. На третьем шаге (при ε
4
) получим
уравнение относительно x
2
, необходимым и достаточным условием разре-
шимости которого в пространстве периодических функций будет выполне-
ние для всех целых k и n равенств
dξ
kn
dτ
= −
a
0
b
2
0
µ
2π
2
n
2
c
2
+ 2π
2
k
2
(
1
a
0
+ 2cθ
1
+ c
2
θ
2
1
) +
+ 4π
2
knc(1 + cθ
1
)
´
ξ
kn
+ (a
1
+ b
1
)ξ
kn
+ f
2
ϕ
kn
(ξ),
(7.5)
где ϕ
kn
— это коэффициент при exp(2πikt
1
+ 2πint
2
) в разложении
∞
X
k,n=−∞
ξ
kn
(τ)e
2πikt
1
e
2πint
2
2

Страницы