ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§ 7. Динамика уравнения с большим и очень большим... 57
с краевыми условиями
u(τ, r, s) = u(τ, r + 1, s), u(τ, r, s) = −u(τ, r, s + 1). (7.11)
В этом случае аналог теорем 7.1 и 7.2 также имеет место.
Теорема 7.3 Пусть уравнение (7.10)–(7.11) имеет решение u
∗
(τ, r, s).
Тогда при достаточно малых ε уравнение (7.2) имеет асимптотическое
по невязке решение x
∗
(t, ε). Причем
x
0
(t, ε) = εu
0
¡
ε
2
(1 + o(1))t, (1 + o(1))t, ε(1 + o(1))t
¢
(1 + o(1)).
Четвертый случай. Если a
0
< 0, b
0
< 0, то аналог нормальной формы
уравнения (7.2) имеет вид
∂u
∂τ
=
|a
0
|c
2
2b
2
0
∂
2
u
∂s
2
+
1
2b
2
0
¡
1 + 2|a
0
|cθ
1
+ |a
0
|c
2
θ
2
1
¢
∂
2
u
∂r
2
+
+
|a
0
|c
b
2
0
(1 + cθ
1
)
∂
2
u
∂r∂s
+ (a
1
+ b
1
)u +
¡
f
2
2
+ f
3
¢
u
3
(7.12)
u(τ, r, s) = −u(τ, r + 1, s), u(τ, r, s) = −u(τ, r, s + 1). (7.13)
Для этой системы также верна теорема, аналогичная теоремам 7.1, 7.2
и 7.3.
Теорема 7.4 Пусть уравнение (7.12)–(7.13) имеет решение u
∗
(τ, r, s).
Тогда при достаточно малых ε уравнение (7.2) имеет асимптотическое
по невязке решение x
∗
(t, ε). Причем
x
0
(t, ε) = εu
0
¡
ε
2
(1 + o(1))t, (1 + o(1))t, ε(1 + o(1))t
¢
(1 + o(1)).
Аналогичные построения можно провести и в более общих случаях.
Пусть
T
1
=
1
ε
, T
2
= T
1
1
cε
q
, c > 0, q > 0.
a = a
0
+ ε
p
b
0
a
1
, b = b
0
+ ε
p
b
0
b
1
, |a
0
| + |b
0
| = 1, 0 < p ≤ 2q, p ≤ 2.
Мы приведем результаты для ситуации a
0
≥ 0, b
0
> 0. Остальные ситуации
разбираются точно так же. Предположим сначала, что 0 < q < 1, p = 2q.
Тогда нормализованная форма имеет вид уравнения, такого же как и (7.6)
∂u
∂τ
=
a
0
c
2
2b
2
0
∂
2
u
∂s
2
+
1
2b
2
0
¡
1 + 2a
0
cθ
1
+ a
0
c
2
θ
2
1
¢
∂
2
u
∂r
2
+
a
0
c
b
2
0
(1 + cθ
1
)
∂
2
u
∂r∂s
+
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
(7.14)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
