Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

58 Часть I. Локальный анализ
с краевыми условиями
u(τ, r, s) = u(τ, r +
2π
ω
, s) = u(τ, r, s + 1). (7.15)
Здесь, как и ранее, ω > 0 — произвольное число.
Если выполнено 0 < q < 1, 0 < p < 2q, то нормализованная форма для
уравнения (7.2) принимает вид системы
∂u
∂τ
=
a
0
c
2
2b
2
0
∂
2
u
∂s
2
+
1
2b
2
0
∂
2
u
∂r
2
+
a
0
c
b
2
0
∂
2
u
∂r∂s
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
, (7.16)
u(τ, r, s) = u(τ, r +
2π
ω
1
, s) = u(τ, r, s +
2π
ω
2
). (7.17)
Здесь ω
1
> 0 и ω
2
> 0 — произвольные числа. Таким образом нормали-
зованная форма представляет собой семейство краевых задач, зависящее
сразу от двух непрерывных параметров.
При условии q > 1, p = 2 роль нормализованной формы будет играть
система (ω > 0 — произвольное)
∂u
∂τ
=
a
0
c
2
2b
2
0
∂
2
u
∂s
2
+
1
2b
2
0
∂
2
u
∂r
2
+
a
0
c
b
2
0
∂
2
u
∂r∂s
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
, (7.18)
u(τ, r, s) = u(τ, r + 1, s) = u(τ, r, s +
2π
ω
). (7.19)
Наконец, если q > 1, 0 < p < 2, то получим двухпараметрическое
семейство краевых задач.
∂u
∂τ
=
a
0
c
2
2b
2
0
∂
2
u
∂s
2
+
1
2b
2
0
∂
2
u
∂r
2
+
a
0
c
b
2
0
∂
2
u
∂r∂s
+ (a
1
+ b
1
)u + f
2
u
2
, (7.20)
u(τ, r, s) = u(τ, r +
2π
ω
1
, s) = u(τ, r, s +
2π
ω
2
). (7.21)
7.2. Рассмотрим уравнение (7.1) в случае, когда параметр b близок к нулю.
Пусть
b = ε
2
b
0
, T
1
=
1
ε
, T
2
=
c
ε
3
, c > 0, 0 < ε ¿ 1.
После замены времени t → tε
−1
получим
ε ˙x + x = ax(t − 1) + ε
2
b
0
x
³
t −
c
ε
2
´
+ f(x). (7.22)

Страницы