Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

60 Часть I. Локальный анализ
где τ = ε
2
t, t
1
= (1 − ε + ε
2
)t, а x
2
периодична по первому аргументу
с периодом 1. Собирая последовательно коэффициенты при одинаковых
степенях ε получим, что должны выполняться при всех целых k равенства
dξ
k
dτ
= (−2π
2
k
2
+ a
1
)ξ
k
+ b
0
exp(2πikθ
1
)ξ
k
(t − c) + f
2
ϕ
k
(ξ). (7.25)
Здесь через ϕ
k
(ξ) обозначен коэффициент при exp(2πikt) в разложении
µ
∞
P
k=−∞
ξ
k
(τ)e
2πikt
2
в ряд Фурье.
Систему (7.25) можно свернуть в одно уравнение параболического типа
с запаздыванием
∂u
∂τ
=
1
2
∂
2
u
∂r
2
+ a
1
u + b
0
u(τ − c, r + θ
1
) + f
2
u
2
(7.26)
с краевыми условиями
u(τ, r) = u(τ, r + 1). (7.27)
Эта краевая задача является нормализованной формой для уравнения
(7.22). Справедлива следующая теорема.
Теорема 7.5 Пусть краевая задача (7.26)–(7.27) имеет экспоненциально
устойчивое периодическое решение u
∗
(τ, r). Тогда уравнение (7.22) имеет
асимптотически устойчивое решение вида
x
∗
(t, ε) = ε
2
u
∗
¡
ε
2
t(1 + o(1)), t(1 −ε + ε
2
)(1 + o(1))
¢
(1 + o(1)).
Второй случай. Пусть a = −1+ε
2
a
1
. В этом случае характеристический
квазиполином
ελ + 1 = (−1 + ε
2
a
1
) exp(−λ) + ε
2
b
0
exp(−
cλ
ε
2
) (7.28)
имеет набор корней
λ
k
= π(2k + 1)i(1 − ε + ε
2
) + ε
2
λ
k2
+ O(ε
3
),
где λ
k2
определяется уравнением
λ
2k
= −
1
2
π
2
(2k + 1)
2
+ a
1
+ b
0
exp(−cλ
2k
+ πi(2k + 1)θ
1
),
в котором θ
1
= θ
1
(ε) ∈ [0, 1), так же как и выше, дополняет c(ε
−2
−ε
−1
+ 1)
до целого числа. Все остальные корни (7.28) имеют отрицательные веще-
ственные части и отделены от нуля при ε → 0.

Страницы