ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§ 7. Динамика уравнения с большим и очень большим... 61
Рассмотрим асимптотический ряд
x(t, ε) = ε
∞
X
k=−∞
ξ
k
(τ)e
π(2k+1)it
1
+ ε
2
x
2
(t
1
, τ) + ε
3
x
3
(t
1
, τ) + . . . , (7.29)
где τ = ε
2
t, t
2
= (1 −ε + ε
2
)t, а x
2
и x
3
периодичны по первому аргументу
с периодом 1. Подставляя (7.29) в (7.22) и последовательно приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях ε, получим, что при всех целых
k должны выполняться равенства
dξ
k
dτ
= (a
1
−
1
2
π
2
(2k + 1)
2
)ξ
k
+ b
0
e
πi(2k+1)θ
1
ξ
k
(t − c) + (f
2
2
+ f
3
)ϕ
k
(ξ).
Здесь через ϕ
k
(ξ) обозначен коэффициент при exp(πi(2k + 1)t) в разложе-
нии
µ
∞
P
k=−∞
ξ
k
(τ)e
πi(2k+1)t
¶
3
в ряд Фурье.
Последняя система может быть записана в виде одной краевой задачи
∂u
∂τ
=
1
2
∂
2
u
∂r
2
+ a
1
u + b
0
u(τ − c, r + θ
1
) + (f
2
2
+ f
3
)u
3
, (7.30)
u(τ, r) = −u(τ, r + 1), (7.31)
которая играет роль нормальной формы в этом случае.
Теорема 7.6 Пусть (7.30)–(7.31) имеет решение u
∗
(τ, r). Тогда уравне-
ние (7.22) имеет асимптотическое по невязке решение вида
x
∗
(t, ε) = εu
∗
¡
ε
2
t(1 + o(1)), t(1 − ε + ε
2
)(1 + o(1))
¢
(1 + o(1)).
Аналогичным образом можно рассматривать и ситуации, когда T
2
по
порядку больше чем ε
−2
либо меньше чем ε
−2
. Пусть
b = ε
p
b
0
, T
1
=
1
ε
, T
2
= T
1
c
ε
q
, c > 0, q > 0, 0 < p ≤ q, p ≤ 2.
Если
a = 1 + ε
p
a
1
,
то нормализованная форма исходного уравнения (7.22) представляет собой
однопараметрическое семейство краевых задач с запаздыванием следующе-
го вида:
∂u
∂τ
=
1
2
∂
2
u
∂r
2
+ a
1
u + b
0
u(τ − cε
p−q
, r + θ
1
) + f
2
u
2
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
