Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Динамика системы с линейно распределенным... 63
Функция f, как обычно, имеет в нуле порядок малости выше первого. По-
этому в окрестности нуля мы представим ее в виде
f(x) = f
2
x
2
+ f
3
x
3
+ . . .
При условии (8.2) удобно произвести замену времени t → tT и замену
x(tT ) → x(t). В итоге приходим к уравнению
ε
2
˙x + εx =
0
Z
−1
(a + bs)x(t + s)ds + εf(x), (8.3)
где ε = T
−1
¿ 1. Это уравнение является сингулярно возмущенным.
Рассмотрим уравнение, которое получается из (8.3) путем отбрасывания
нелинейности
ε
2
˙x + εx =
0
Z
−1
(a + bs)x(t + s)ds.
Подставим x = exp(λt). Если λ 6= 0, то получим следующее уравнение:
ε
2
λ
3
+ ελ
2
= aλ[1 − e
−λ
] + bλe
−λ
− b[1 − e
−λ
], λ 6= 0. (8.4)
Для λ = 0 получим
b = 2a − 2ε.
Уравнение (8.4) является характеристическим уравнением для задачи
(8.3). Это значит, что динамика исходной задачи вблизи нулевого состоя-
ния равновесия описывается расположением корней характеристического
уравнения. Возможны три случая:
1. Существует такое M > 0, что при любом сколь угодно малом ε > 0
найдется корень λ(ε) такой, что Re λ(ε) > M. В этом случае нуле-
вое решение исходной задачи заведомо неустойчиво, более того, в его
окрестности также нет устойчивых режимов. Назовем этот случай
случаем неустойчивости.
2. Существует такое M > 0, что при каждом достаточно малом ε > 0
все корни уравнения (8.4) удовлетворяют Re λ < −M. В этом случае
нулевое решение исходной задачи асимптотически устойчиво. Будем
называть этот случай случаем устойчивости.

Страницы