ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
64 Часть I. Локальный анализ
3. Для каждого M > 0 найдется такое ε(M) > 0, что при ε ∈ (0, ε(M))
все корни (8.4) лежат в полуплоскости Re λ < M, при этом существу-
ют корни λ(ε), такие что Re λ(ε) → 0 при ε → 0. В этом случае для
изучения динамики исходного уравнения нужно проводить дополни-
тельные исследования. Этот случай будем называть критическим.
8.2. Исследуем возможное расположение корней (8.4). Сразу отметим, что
всегда существует корень λ = 0. Нам он не интересен, кроме случая
b = 2a − 2ε, который разберем отдельно. Поэтому далее из рассмотрения
мы его исключаем.
Сразу отметим, что если a > 0, то при достаточно малых ε существуют
корни в правой комплексной полуплоскости вида
λ =
α + iβ
ε
+ O(e
−1/ε
), α > 0,
т.е. реализуется случай неустойчивости.
Далее будем считать, что a ≤ 0.
Изучим, при каких значениях параметров у (8.4) есть корень, такой что
Re λ(ε) → 0 при ε → 0.
Такое λ представимо в виде:
λ(ε) = iω
−
(ε) + iω
0
(ε) + O(ε), (8.5)
где ω
0
(ε) = O(1), а ω
−
(ε) → ∞ при ε → 0 либо ω
−
≡ 0.
Рассмотрим сначала вариант ω
−
6= 0. Подставим (8.5) в (8.4).
−ε
2
ω
3
−
i − εω
2
−
= aω
−
£
1 − e
−iω
−
+iω
0
¤
i + bω
−
e
−iω
−
+iω
0
i + O(1).
Отсюда следует, что либо ω
−
имеет порядок ε
−1
и
(b − a) exp(−iω
−
+ iω
0
) = −ε
2
ω
2
−
+ εω
−
i − a, (8.6)
либо ω
−
меньше по порядку, чем ε
−1
и выполняется
(a − b) exp(−iω
−
+ iω
0
) = a. (8.7)
Для того чтобы уравнение (8.6) имело решение, необходимо, чтобы модули
правой и левой частей были равны. Следовательно, если сделать в этом
уравнении замену ω
−
= ω
−1
/ε, получим
ω
2
−1
+ (a + ω
2
−1
)
2
= (b − a)
2
. (8.8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
