Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

66 Часть I. Локальный анализ
Представим λ в виде
λ = λ
−
(ε) + λ
0
(ε) + . . . ,
где |λ
−
(ε)| стремится к бесконечности при ε, стремящемся к нулю, либо
λ
−
≡ 0, λ
0
= O(1), а в многоточии собраны слагаемые более высоких
порядков малости.
Отметим, что Re λ
−
≤ 0. Действительно, если выполнено обратное, то с
необходимостью должно выполняться a > 0, что неверно. Если Re λ
−
< 0,
то при достаточно малых ε Re λ < 0. Рассмотрим случай Re λ
−
= 0. Т.к.
критический случай места иметь не может, то и Im λ
−
= 0.
Подставим λ = λ
0
+ o(1) в уравнение. Главная часть тогда примет вид
aλ
0
+ ae
−λ
0
− a = 0,
откуда следует
e
−λ
0
= 1 + λ
0
.
Если Re λ
0
> 0, то модуль правой части больше 1, а модуль левой – меньше.
Выполняться это не может. Следовательно, Re λ < 0 (случай Re λ
0
= 0
невозможен, т.к. невозможен критический случай).
Итак, мы показали, что при b = a у уравнения (8.4) не может быть кор-
ней с положительной вещественной частью при малых ε, т.е. выполняется
случай устойчивости. Следовательно, при всех b ∈ I имеет место случай
устойчивости.
Построим асимптотику собственных значений в критических случаях.
Пусть выполнено одно из условий (8.10). Построим асимптотику стремя-
щихся к мнимой оси решений характеристического уравнения (8.4) в этом
случае. Такие λ, как было показано выше, представимы в виде
λ = ωi + ελ
1
+ ε
2
λ
2
+ . . .
Если b = 0, то уравнение (8.4) принимает вид
ε
2
λ
2
+ ελ = a[1 − e
−λ
].
У него есть цепочка корней вида (k ∈ Z, k 6= 0)
λ
k
(ε) = 2πik
µ
1 + ε
1
a
+ ε
2
µ
−2π
2
k
2
2a + 1
a
2
+
2πk
a
2
i
+ . . . .
Кроме того, для каждого 0 < γ < 1 и ω > 0 можно построить асимптотику
корней вида
λ
k
(ε) =
ωk
ε
γ
i + θ(ε)ki + ε
1−γ
µ
1
a
+ o(1)
i + ε
2−2γ
µ
−ω
2
2a + 1
a
2
+ o(1)
.

Страницы