Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Динамика системы с линейно распределенным... 67
Здесь θ(ε) ∈ [0, 2π) таково, что θ(ε) + ωε
−γ
является целым кратным 2π.
Отметим, что если 2a + 1 < 0, то при любом сколь угодно малом ε и
для любого положительного M найдется номер k такой, что Re λ
k
> M,
следовательно, будет реализовываться случай неустойчивости.
Если b = 2a, то уравнение (8.4) принимает вид
ε
2
λ
3
+ ελ
2
= aλ[1 + e
−λ
] − 2a[1 − e
−λ
].
Для определения ω получаем уравнение
e
−iω
=
2 − iω
2 + iω
.
Это уравнение имеет счетное число решений ω
k
= π(2k + 1) + ν
k
(k ∈ Z).
Причем выполняется ν
k
∈ (0, π/2), lim
k→±∞
ν
k
= 0. Цепочка λ
k
(ε) в этом
случае принимает вид:
λ
k
(ε) = iω
k
+ ε
2 + iω
k
a
− ε
2
µ
ω
2
k
(1 + 2a) + 20
2a
2
−
2ω
2
k
a − ω
2
k
+ 12
a
2
ω
k
i
+ . . .
Отметим, что если 2a + 1 < 0, то т.к. ω
k
→ ∞ при k → ∞ для любого
положительного M найдется номер k такой что Re λ
k
> M, следовательно,
будет реализовываться случай неустойчивости.
Построим теперь асимптотику собственных значений в случае выпол-
нения одного из условий (8.9). В этом случае существует действительное
решение уравнения (8.8). Не ограничивая общности, будем рассматривать
только положительное решение
ω
−1
=
s
−(2a + 1) +
p
(2a + 1)
2
− 4a
2
+ 4(b − a)
2
2
.
Решение (8.4), стремящееся к мнимой оси, в этом случае представимо в
форме
λ =
ω
−1
ε
i + ω
0
(ε)i + ελ
1
+ . . .
Рассмотрим равенство (8.6), как уравнение относительно ω
0
. Все его реше-
ния можно представить в виде
ω
0k
(ε) = θ(ε) + Ω + 2πk, k ∈ Z,
где θ(ε) ∈ [0, 2π) дополняет ω
−1
ε
−1
до целого кратного 2π, а Ω ∈ [0, 2π) –
это решение уравнения
e
−iΩ
=
−ω
2
−1
+ ω
−1
i − a
b − a
.

Страницы