Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

68 Часть I. Локальный анализ
Таким образом,
λ
k
(ε) =
³
ω
−1
ε
+ θ(ε) + Ω + 2πk
´
i + ελ
k1
+ ε
2
λ
k2
+ . . . , k ∈ Z.
Подставим это выражение в (8.4) и соберем коэффициенты при одинаковых
степенях ε. Получим
λ
k1
= c
1
ω
0k
+ c
2
+ c
3
i + 2πkc
4
i,
где
c
1
= −
ω
−
(2a + 2ω
2
−
+ 1)
(b − a)
2
c
2
=
b
(b − a)
2
c
3
= −
b(b + ω
2
−
) − ω
−
(ω
2
−
− a)(θ(ε) + Ω)
(b − a)
2
ω
−
c
4
=
a − ω
2
−
(b − a)
2
Заметим, что ω
0k
может принимать положительные и отрицательные зна-
чения, сколь угодно большие по модулю. Следовательно, если c
1
6= 0, то
при любом, сколь угодно малом ε найдется такое k, что Re λ
1
> M > 0,
где M — произвольное положительное число. Значит, при c
1
6= 0 реализу-
ется случай неустойчивости. Поэтому интерес будет представлять только
случай c
1
= 0. Это условие можно записать в виде
1 + 2a + 2ω
2
−1
= 0.
Подставляя сюда значение для ω
2
−1
, получим
(2a + 1) − 4a
2
+ 4(b − a)
2
= 0, 1 + 2a < 0.
Откуда следует
b = b
±
= a ±
1
2
p
−(1 + 4a).
При таких значениях параметра b
λ
k
(ε) =
p
−(4a + 2)
2ε
i + iθ(ε) + iΩ + 2πik +
+ ε(
4a ± 2
p
−(1 + 4a)
1 + 4a
+ ic
3
− 4πik) + . . .

Страницы