Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

70 Часть I. Локальный анализ
У характеристического уравнения (8.4) имеется бесконечно много корней
λ
k
(ε), k ∈ Z, k 6= 0, таких что Re λ
k
→ 0 при ε → 0, а все остальные корни
этого уравнения лежат слева и отделены при ε → 0 от мнимой оси. Как
было найдено выше, корни, стремящиеся к мнимой оси, можно представить
в виде
λ
k
(ε) = 2kπ
µ
1 +
1
a
i + ε
2
µ
−2π
2
k
2
2a + 1
a
2
+
2πk
a
2
i + b
1
+ . . .
Согласно общей идеологии бифуркационных методов, установившиеся
режимы уравнения (8.11) могут формироваться в „окрестности“ критиче-
ских частот 2πik, k ∈ Z, k 6= 0. Представим x в виде формального ряда
x = ε
X
k∈Z,k6=0
ξ
k
(τ)e
2πikt
1
+ ε
2
x
2
(t
1
, τ) + ε
3
x
3
(t
1
, τ) + . . . ,
где τ = ε
2
t, t
1
= (1 + εa
−1
+ ε
2
a
−2
)t, а x
i
(t
1
, τ) периодичны по первому
аргументу с периодом 1.
Подставим этот ряд в (8.3) и соберем коэффициенты при одинаковых
степенях ε. При ε
2
получим равенство
X
k∈Z,k6=0
ξ
k
(τ)e
2πikt
= a
X
k∈Z,k6=0
1
a
ξ
k
(τ)e
2πikt
+
0
Z
−1
x
2
(t + s, τ)ds.
Откуда следует, что
0
Z
−1
x
2
(t + s, τ)ds = 0.
Положим x
2
≡ 0. При ε
3
получим:
2πi
X
k∈Z,k6=0
kξ
k
e
2πikt
= a
X
k∈Z,k6=0
µ
1
2πik
dξ
k
dτ
+ b
1
ξ
k
e
2πikt
+
+
0
Z
−1
x
3
(t + s, τ)ds + f
2
X
k∈Z,k6=0
ξ
k
e
2πikt
2
Так как x
3
— периодичная функция, то ее можно разложить в ряд Фурье.
Собирая коэффициенты при exp(2πikt), получим, что для существования

Страницы