ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§ 8. Динамика системы с линейно распределенным... 71
такой x
3
должны выполняться следующие равенства:
d
dτ
ξ
k
= (−2π
2
k
2
2a + 1
a
2
+ b
1
)ξ
k
− 2πikf
2
ϕ
k
(ξ), k 6= 0, (8.12)
где ϕ
k
(ξ) – это коэффициент при exp(2πikt) в разложении
X
k∈Z,k6=0
ξ
k
e
2πikt
2
в ряд Фурье.
Рассмотрим следующее уравнение:
∂u
∂τ
=
2a + 1
2a
2
∂
2
u
∂r
2
+ b
1
u − f
2
∂
∂r
u
2
(8.13)
с граничными условиями
u(τ, r) = u(τ, r + 1),
1
Z
0
u(τ, r) dr = 0. (8.14)
Условие 2a+1 > 0 обеспечивает параболичность этой задачи. Разложим ре-
шение этого уравнения в ряд по собственным функциям линеаризованной
правой части, который совпадет с рядом Фурье:
u(τ, r) =
X
k∈Z,k6=0
ξ
k
(τ)e
2πikr
.
Подставляя последнее равенство в (8.13), получим систему (8.12). Поэтому
уравнение (8.13) можно считать нормализованной формой для исходного
уравнения (8.3). Справедлива следующая теорема.
Теорема 8.3 Пусть задача (8.13)–(8.14) имеет решение u
0
(τ, r). Тогда у
уравнения (8.11) существует асимптотическое по невязке решение
x(t, ε) = εu
0
(ε
2
t, t(1 + εa
−1
+ ε
2
a
−2
+ o(1)))(1 + o(1)).
Рассмотрим теперь ситуацию, когда
a < 0, 2a + 1 > 0, b = ε
p
b
1
, 0 < p < 2.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
