Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

72 Часть I. Локальный анализ
Как было показано выше, характеристический квазиполином (8.4) имеет
корни с асимптотикой
λ
k
(ε) =
ωk
ε
γ
i + θ(ε)ki + ε
1−γ
µ
1
a
+ o(1)
i + ε
2−2γ
µ
b
1
− ω
2
2a + 1
a
2
+ o(1)
.
Здесь мы полагаем γ = 1 −p/2, а ω > 0 берем произвольным. Выполним в
(8.11) замену
x = ε
p
X
k∈Z,k6=0
ξ
k
(τ)e
ikt
1
+ ε
2p
x
2
(t
1
, τ) + ε
3p
x
3
(t
1
, τ) + . . . ,
где τ = ε
2p
t, t
1
= (ωε
−γ
+θ(ε)+ε
p/2
a
−1
+o(ε
p/2
))t, а x
i
(t
1
, τ) 2π-периодичны
по первому аргументу. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях ε, мы, как и выше, получим, что амплитуды ξ
k
должны удовлетворять
системе
d
dτ
ξ
k
= (b
1
−
ω
2
2
2a + 1
a
2
)ξ
k
− ωikf
2
ϕ
k
(ξ), k 6= 0,
которая может быть свернута в одно параболическое уравнение
∂u
∂τ
=
2a + 1
2a
2
∂
2
u
∂r
2
+ b
1
u − f
2
∂
∂r
u
2
с краевыми условиями
u(τ, r) = u(τ, r +
2π
ω
),
2πω
−1
Z
0
u(τ, r) dr = 0.
Эта краевая задача играет роль нормализованной формы в рассматривае-
мом случае. Справедлив аналог теоремы 8.3.
8.4. Рассмотрим случай, когда параметр b близок к 2a. Пусть
a < 0, 2a + 1 > 0, b = 2a + b
1
ε + b
2
ε
2
.
Тогда исходное уравнение (8.3) принимает вид
ε
2
˙x + εx =
0
Z
−1
¡
a + (2a + b
1
ε + b
2
ε
2
)s
¢
x(t + s)ds + εf(x). (8.15)

Страницы