Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

74 Часть I. Локальный анализ
Теорема 8.4 Пусть b
1
< −2. Тогда нулевое решение (8.15) неустойчиво.
В его некоторой не зависящей от ε окрестности нет устойчивых реше-
ний.
Пусть b
1
> −2. Тогда нулевое решение уравнения (8.15) асимптоти-
чески устойчиво, все решения из его некоторой достаточно малой, но не
зависящей от ε, окрестности стремятся к нулю.
Отметим, что если b
1
= −2, то все приведенные построения также име-
ют место. Однако в этом случае система (8.16) становится негрубой, т.е. у
нее нет экспоненциально устойчивых решений. Поэтому по поведению ее
решений мы не можем судить о динамике исходного уравнения (8.15).
Второй случай. Пусть теперь b
1
= −2. Положим в (8.15)
x(t, ε) = ε
X
k∈Z
ξ
k
(τ)e
ω
k
it
1
+ ε
2
x
2
(t
1
, τ) + . . . ,
где τ = ε
2
t, t
1
= (1+εa
−1
+ε
2
(2a+3)a
−2
)t, а x
2
является квадратичной фор-
мой от ξ
k
exp(iω
k
τ). В результате для определения медленно меняющихся
амплитуд ξ
k
(τ) получим систему уравнений (k 6= 0)
dξ
k
dt
=
µ
−
(2a + 1)ω
2
k
2a
2
+
b
2
a
ξ
k
− ε
2(2 + iω
k
)
a
f
2
ξ
k
ξ
0
(8.17)
dξ
0
dτ
=
3b
2
a
ξ
0
−
2f
2
a
X
m∈Z
ξ
m
ξ
−m
(8.18)
Систему (8.17)–(8.18) можно записать в виде уравнения в частных произ-
водных
∂u
∂τ
=
2a + 1
2a
2
∂
2
u
∂r
2
+
b
2
a
u +
2b
2
a
M(u) −
−
2f
2
a
µ
∂u
∂r
M(u) − 2uM(u) −||u||
2
+ 2(M(u))
2
(8.19)
с дополнительными краевыми условиями: u принадлежит замыканию ли-
нейного пространства, натянутого на функции exp(iω
k
r)
u ∈ Lin{exp(iω
k
r)}
∞
k=−∞
. (8.20)
Здесь M(u) — это среднее функции u, т.е.
M(u) = lim
h→∞
1
h
h
Z
0
u(τ, r) dr,

Страницы