Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Динамика системы с линейно распределенным... 75
а через ||u||
2
обозначено
||u||
2
=
0
Z
−1
u
2
(τ, r) dr.
Отметим, что если в (8.19) подставить
u(τ, r) =
X
k∈Z
ξ
k
(τ)e
iω
k
r
,
то получим систему (8.17)–(8.18). Поэтому задача (8.19)–(8.20) является в
данном случае нормализованной формой для (8.15).
Теорема 8.5 Пусть (8.19)–(8.20) имеет решение u
∗
(τ, r). Тогда уравне-
ние (8.15) имеет асимптотическое по невязке решение вида
x(t, ε) = εu(ε
2
t, (1 + o(1))t)(1 + o(1)).
8.5. Изучим динамику (8.3) в критическом случае на больших модах. Пусть
a < 0, 2a + 1 < 0, b = b
±
= a ±
1
2
p
−(1 + 4a) + εb
1
+ ε
2
b
2
.
Тогда уравнение (8.3) имеет вид
ε
2
˙x + εx = a
0
Z
−1
(a + (b
±
+ εb
1
+ ε
2
b
2
)s)x(t + s)ds + εf(x). (8.21)
Характеристическое уравнение (8.4) имеет в этом случае счет-
ное множество корней λ
k
(ε), стремящихся к мнимой оси. Если
b
1
6= −1 ∓ 2a
p
−(1 + 4a)
−1
, то
λ
k
(ε) =
Ã
p
−(4a + 2)
2ε
+ θ(ε) + Ω + 2πk
!
i +
+ ε
Ã
4a ± 2(1 + b
1
)
p
−(1 + 4a)
1 + 4a
+ ic
3
− 4πik
!
+ . . .

Страницы