Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Динамика системы с линейно распределенным... 77
в ряд Фурье. Систему (8.22) можно представить в виде уравнения
du
dτ
= −
4a ± 2(1 + b
1
)
p
−(1 + 4a)
1 + 4a
u +
ω
−
ie
iΩ
b
±
− a
(2f
2
y
1
+ 3f
3
)u|u|
2
. (8.23)
Здесь u = u(τ, r) при каждом τ является комплексной периодической
функцией параметра r с периодом 1. Это уравнение представляет собой
нормализованную форму для уравнения (8.21). Т.е. справедлива следую-
щая теорема.
Теорема 8.6 Пусть уравнение (8.23) имеет решение u
∗
(τ, r), тогда ис-
ходное уравнение (8.21) имеет решение по невязке
x
∗
(t, ε) =
³
e
(ω
−1
/ε+Θ(ε)+Ω+εc
1
+o(ε))it
u
∗
(εt, (1 − 2ε + o(ε))t) +
+ e
−(ω
−1
/ε+Θ(ε)+Ω+εc
1
+o(ε))it
u
∗
(εt, (1 − 2ε + o(ε))t)
´
(1 + o(1)).
Второй случай. Пусть теперь b
1
= −1 ∓ 2a
p
−(1 + 4a)
−1
. Положим в
(8.21)
x = εx
1
(t
0
, t
1
, τ) + ε
2
x
2
(t
0
, t
1
, τ) + ε
3
x
3
(t
0
, t
1
, τ) + . . . , (8.24)
где t
0
= (ω
−1
p
−(4a + 2)(2ε)
−1
+ θ(ε) + Ω + εc
3
)t, t
1
= (1 − 2ε)t, τ = ε
2
t, а
x
1
= e
it
0
X
k∈Z
ξ
k
(τ)e
2πikt
1
+ e
−it
0
X
k∈Z
ξ
k
(τ)e
−2πikt
1
.
Производя такие же, как и выше, действия, получим, что роль нормальной
формы в этом случае играет уравнение (y
1
такое же как и выше)
∂u
∂τ
= (d
1
+ id
2
)
∂
2
u
∂r
2
+ (d
3
+ id
4
)
∂u
∂r
+ (d
5
+ id
6
)u +
ω
−
ie
iΩ
b
±
− a
(2f
2
y
1
+ 3f
3
)u|u|
2
.
(8.25)
с краевыми условиями
u(τ, r) = u(τ, r + 1). (8.26)
Динамика задачи (8.25)–(8.26) описывает поведение решений уравнения
(8.21) в окрестности нулевого состояния равновесия. Справедлива следую-
щая теорема.

Страницы