Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 9. Нормализация в системе с периодически... 79
Для корней этого квазиполинома справедливы следующие утвержде-
ния.
Лемма 9.1 Пусть a < 0, 2a + 1 > 0, 0 < σ < π. Тогда существует c < 0
такое, что при достаточно малых ε все решения λ характеристического
уравнения (9.3) удовлетворяют условию Reλ < c.
Лемма 9.2 Пусть выполнено одно из условий
a > 0
2a + 1 < 0
a < 0, 2a + 1 > 0, πn < σ < π(n + 1), n – натуральное.
Тогда существует такое c > 0, что при любом, сколь угодно ма-
лом, ε характеристическое уравнение (9.3) имеет корень λ
+
такой, что
Reλ
+
> c.
Лемма 9.3 Пусть a < 0, 2a + 1 > 0, σ = πn, n = 0, 1, 2, . . .. Тогда
при достаточно малых ε характеристическое уравнение (9.3) не имеет
корней в правой комплексной полуплоскости, отделенных от мнимой оси,
и существует корень λ(ε), такой что Reλ(ε) → 0 при ε → 0.
В силу лемм 9.1–9.2 и [30], справедлива следующая теорема
Теорема 9.1 Пусть выполнены условия леммы 9.1, тогда нулевое реше-
ние уравнения (9.2) асимптотически устойчиво при любой функции f(x).
Пусть выполнены условия леммы 9.2, тогда нулевое решение уравне-
ния (9.2) неустойчиво, и в некоторой его окрестности нет устойчивых
режимов при любой функции f(x).
Таким образом, дополнительные исследования локальной динамики
необходимо проводить, если параметры a, σ таковы, что выполняются усло-
вия леммы 9.3. Как уже отмечалось, в этом случае нет собственных значе-
ний с отделенной от мнимой оси положительной вещественной частью, и
есть корень, действительная часть которого стремится к нулю. Отметим,
что в этом случае одновременно существует бесконечное количество кор-
ней характеристического квазиполинома (9.3), стремящихся к мнимой оси
при ε → 0. Таким образом реализуется критический случай бесконечной
размерности.
Если a < 0, 2a + 1 > 0, σ = 0, то уравнение (9.2) принимает вид
ε
2
˙x + εx = a
0
Z
−1
x(t + s)ds + εF (x). (9.4)

Страницы