Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 9. Нормализация в системе с периодически... 81
Для существования периодического u
2
, удовлетворяющего этому уравне-
нию, необходимо, чтобы для всех k 6= 0, ±n выполнялось
∂u
1k
∂t
1
= 0.
При этом
u
2
=
X
k6=±n
u
2k
(t
1
, θ, τ)e
πiKt
.
Приравнивая коэффициенты при ε
2
, получаем
X
k6=±n
u
1k
e
πiKt
= a
X
k6=±n
K
π(K
2
− N
2
)i
∂u
1k
∂θ
e
πiKt
+
a
π
2
N
2
∂
2
u
10
∂t
2
1
+
+ a
X
k6=±n
K
π(K
2
− N
2
)i
∂u
2k
∂t
1
e
πiKt
+ a
0
Z
−1
cos(πNs)u
3
(t + s, t
1
, θ, τ) ds +
+ f
2
X
k6=0,±n
ξ
k
(τ)e
λ
k1
θ
e
πiKt
+ ξ
0
(θ)e
πN
√
−a
−1
it
1
+
ξ
0
(θ)e
−πN
√
−a
−1
it
1
2
+
+ a
1
πN
√
−a
µ
(−2
dξ
0
dθ
+
π
2
N
2
2a
ξ
0
)e
πN
√
−a
−1
it
1
+ к.с.
.
Для существования периодического u
3
необходимо, чтобы были равны ко-
эффициенты при всех exp(πiKt). Значит, должны выполняться следующие
равенства.
u
10
=
a
π
2
N
2
∂
2
u
10
∂t
2
1
+ f
2
X
m6=0,±n
ξ
m
ξ
−m
+ (ξ
0
e
πN
√
−a
−1
it
1
+ к.с.)
2
+
+
2a
πN
√
−a
µ
(
π
2
N
2
4a
ξ
0
−
dξ
0
dθ
)e
πN
√
−a
−1
it
1
+ к.с.
(9.6)
и при всех k 6= 0, ±n
∂u
1k
∂θ
+
∂u
2k
∂t
1
= λ
k1
u
1k
−
πi(K
2
− N
2
)f
2
aK
X
m6=0,k,±n,k±n
ξ
m
ξ
k−m
e
(λ
m1
+λ
k−m,1
)θ
−
−
2πi(K
2
− N
2
)f
2
aK
ξ
k
³
ξ
0
e
πN
√
−a
−1
it
1
+
ξ
0
e
−πN
√
−a
−1
it
1
´
e
λ
k1
θ
.
(9.7)

Страницы