Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

80 Часть I. Локальный анализ
Исследование динамики такого уравнения описано выше (§8 пункт 3)
9.2. Пусть a < 0, 2a + 1 > 0, σ = 2πn, n – натуральное. В этом случае
характеристическое уравнение (9.3) имеет набор корней, стремящихся при
ε → 0 к мнимой оси
λ
0
= πN
r
−
1
a
iε
1/2
+
π
2
N
2
4a
ε + . . . ,
λ
0
= −πN
r
−
1
a
iε
1/2
+
π
2
N
2
4a
ε + . . . ,
λ
k
= πiK + ελ
k1
+ ε
2
λ
k2
+ . . . .
Здесь k целое (k 6= 0, ±n), K = 2k, N = 2n,
λ
k1
=
π(K
2
− N
2
)
aK
i,
λ
k2
=
π
2
2a
2
K
2
(N
2
− K
2
)((2a + 1)K
2
− N
2
) +
π
a
2
K
3
(K
4
− N
4
)i.
Все остальные решения (9.3) находятся в левой комплексной полуплоскости
и отделены при ε → 0 от мнимой оси.
Согласно общей идеологии бифуркационных методов установившиеся
режимы уравнения (9.2) могут формироваться в „окрестности“ критиче-
ских частот 2πik, k 6= ±n. Представим x в виде формального ряда
x(t) =
√
ε
P
k6=0,±n
ξ
k
(τ)e
λ
k1
θ
e
πiKt
+ εu
1
+ ε
3/2
u
2
+ ε
2
u
3
+ ε
5/2
u
4
+
+
√
ε
³
ξ
0
(θ)e
πN
√
−a
−1
it
1
+ ξ
0
(θ)e
−πN
√
−a
−1
it
1
´
. . . ,
(9.5)
где τ = ε
2
t, θ = εt, t
1
=
√
εt, а функции u
k
= u
k
(t, t
1
, θ, τ) предполага-
ются периодичными по первому аргументу и ограниченными по второму
и третьему аргументам. Подставим (9.5) в (9.2) и будем последовательно
собирать слагаемые при одинаковых степенях ε.
Из уравнения при ε
1
следует
u
1
=
X
k6=±n
u
1k
(t
1
, θ, τ)e
πiKt
.
При ε
3/2
получаем равенство
0 =
X
k6=±n
K
π(K
2
− N
2
)i
∂u
1k
∂t
1
e
πiKt
+
0
Z
−1
cos(πNs)u
2
(t + s, t
1
, θ, τ) ds.

Страницы